Кошенильный кактус.
Коши - Адамара теорема
Коши' — Адама'ра теоре'ма, теорема теории аналитических функций, позволяющая судить о сходимости степенного ряда
a +a1 (z—z )+...+an (z—z ) n +... ,
где a , a1 ,..., an — фиксированные комплексные числа, a z — комплексное переменное. К.—А. т. гласит: если верхний предел
,
то при r = ¥ ряд абсолютно сходится во всей плоскости; при r = 0 ряд сходится только в точке z = z и расходится при z ¹ zo ; наконец, в случае, когда 0 < r < ¥ ряд абсолютно сходится в круге |z—z | < r и расходится вне этого круга. Эта теорема была установлена О. Коши (1821) и вновь доказана Ж. Адамаром (1888), указавшим на её важные приложения.
Коши - Римана уравнения
Коши' — Ри'мана уравне'ния в теории аналитических функций, дифференциальные уравнения с частными производными 1-го порядка, связывающие действительную и мнимую части аналитической функции v = u + iu комплексного переменного z= х + iy:
,
Эти уравнения имеют основное значение в теории аналитических функций и её приложениях к механике и физике; они впервые были рассмотрены Ж. Д’Аламбером и Л.Эйлером , задолго до работ О. Коши и Б. Римана .
Коши задача
Коши' зада'ча, одна из основных задач теории дифференциальных уравнений , впервые систематически изучавшаяся О. Коши . Заключается в нахождении решения u (x, t); х = (x1 ,..., xn ) дифференциального уравнения вида:
, (1)
m <
m, m > 0,
удовлетворяющего т. н. начальным условиям.
,
t =
t , x Î
G ,
k = 0, …, m-1, (2)
где G — носитель начальных данных — область гиперплоскости t = to пространства переменных x1 ,..., xn . Когда F и fk , k = 0,..., m — 1, являются аналитическими функциями своих аргументов, задача Коши (1), (2) в некоторой области G пространства переменных t, х, содержащей G , всегда имеет и притом единственное решение. Однако это решение может оказаться неустойчивым (т. е. малое изменение начальных данных может вызвать сильное изменение решения), например в том случае, когда уравнение (1) принадлежит эллиптическому типу. При неаналитических данных задача Коши (1), (2) может потерять смысл, если не ограничиться рассмотрением того случая, когда уравнение (1) является гиперболическим.
Лит.: Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики, пер. с нем., т. 2, М.— Л., 1951; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.
А. В. Бицадзе.
Коши интеграл
Коши' интегра'л, интеграл вида
,
где g — простая замкнутая спрямляемая кривая в комплексной плоскости и f (t) — функция комплексного переменного t, аналитическая на g и внутри g. Если точка z лежит внутри g, то К. и. равен f (z), т. о., любая аналитическая функция может быть посредством К. и. выражена через свои значения на замкнутом контуре. К. и. впервые рассмотрен О. Коши (1831).
Обобщением К. и. являются интегралы типа Коши; они имеют тот же вид, но кривая g не предполагается замкнутой и функция f (t) не предполагается аналитической. Такие интегралы по-прежнему определяют аналитические функции; их значения на g отличаются, вообще говоря, от функции f (t). Систематическое изучение их было начато Ю. В. Сохоцким и впоследствии продолжалось главным образом русскими и советскими математиками (Ю. Г. Колосов, В. В. Голубев, И. И. Привалов, Н. И. Мусхелишвили) как в направлении дальнейших обобщений, так и для приложения к вопросам механики.
Лит.: Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1—2, М., 1967—68; Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.— Л., 1950.
Коши неравенство
Коши' нера'венство, неравенство для конечных сумм, имеющее вид:
.
Одно из важнейших и наиболее употребительных неравенств. Доказано О. Коши (1821). Интегральный аналог К. н. установлен русским математиком В. Я. Буняковским (см. Буняковского неравенство ), интересное обобщение К. н. сделано немецким математиком О. Гёльдером (см. Гёльдера неравенство ).
Коши Огюстен Луи
Коши' (Cauchy) Огюстен Луи (21.8.1789, Париж, — 23.5.1857, Со), французский математик, член Парижской АН (1816). Окончил Политехническую школу (1807) и Школу мостов и дорог (1810) в Париже. В 1810—13 работал инженером в г. Шербур. В 1816—30 преподавал в Политехнической школе и Коллеж де Франс. С 1848 в Парижском университете и в Коллеж де Франс. Работы К. относятся к различным областям математики (преимущественно к математическому анализу) и математической физики. Его курсы анализа («Курс анализа», 1821, «Резюме лекций по исчислению бесконечно малых», 1823, «Лекции по приложениям анализа к геометрии», т. 1—2, 1826—28), основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени. В них он дал определение понятия непрерывности функции, чёткое построение теории сходящихся рядов (см., например Коши — Адамара теорема ), определение интеграла как предела сумм и др. К. систематически развивал основы теории аналитических функций комплексного переменного (см. Коши — Римана уравнения ), дал выражение аналитической функции в виде интеграла (см. Коши интеграл ), разложение функции в степенной ряд (см. Коши теорема ), разработал теорию вычетов. В области теории дифференциальных уравнений К. принадлежат: постановка т. н. Коши задачи , основные теоремы существования решений и метод интегрирования уравнений с частными производными 1-го порядка (метод К. — метод характеристических полос). В работах по теории упругости он рассматривал тело как сплошную среду и оперировал напряжением и деформацией, относимой к каждой точке. В работах по оптике К. дал математическую разработку теории Френеля и теории дисперсии. К. принадлежат также исследования по геометрии (о многогранниках), по теории чисел, алгебре и т. д. По политическим убеждениям К. — ультрароялист, сторонник Бурбонов (после Революции 1830 — в эмиграции до 1838), клерикал.
Соч.: CEuvres complètes, sér. 1, t. 1—12, sér. 2, t. 1—13, P., 1882—1932; в рус. пер. — Алгебраический анализ, Лейпциг, 1864; Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, СПБ, 1831; Исследование о многогранниках, «Успехи математических наук», 1944, в. 10.
