Геодезические К. точки: широта В (угол, образованный проходящей через данную точку нормалью эллипсоида с плоскостью его экватора), долгота L (угол между плоскостями меридиана данной точки и начального меридиана), высота Н (расстояние данной точки от эллипсоида по нормали к нему). Геодезические К. непосредственно из наблюдений получены быть не могут. Для любой точки, включенной в геодезическую сеть, они могут быть вычислены по данным геодезических измерений.
Астрономические К. точки: широта j — угол, образованный отвесной линией в данной точке с плоскостью земного экватора; долгота l — угол между плоскостями астрономических меридианов данной точки и начального; так, определённые астрономические координаты j и l называются также географическими координатами . К j и l присоединяется ещё нормальная высота Нg (расстояние данной точки от квазигеоида по отвесной линии), которая часто отождествляется с высотой точки над уровнем моря. Астрономические координаты j и l получают из астрономических наблюдений (см. Геодезическая астрономия ); высоты точек земной поверхности получают из нивелирования . Геодезические К. какой-либо точки отличаются от астрономических К. той же точки за счёт выбора эллипсоида и несовпадения отвесной линии с нормалью к эллипсоиду (см. Отклонение отвеса ). Сравнение геодезических и астрономических К. ряда точек земной поверхности даёт возможность изучить на данном участке поверхность геоида (точнее квазигеоида) относительно применяемого эллипсоида (астрономическое нивелирование и астрономо-гравиметрическое нивелирование ).
В геодезии используют также и др. виды К. В связи с развитием космической геодезии большое значение приобрели прямоугольные геодезические координаты X, Y, Z, начало которых О совмещено с центром эллипсоида, а ось Z направлена по малой его оси. Переход от В, L, Н к X, Y, Z совершается по довольно простым формулам.
При изучении многих вопросов геодезии используются также различные криволинейные К. на поверхности эллипсоида. На практике — при использовании данных геодезии и топографических карт — применяют прямоугольные К. на плоскости геодезической проекции.
Лит.: Красовский Ф. Н., Руководство по высшей геодезии, ч. 2, М., 1942; 3акатов П. С., Курс высшей геодезии, 3 изд., М., 1964; Морозов В. П., Курс сфероидической геодезии, М., 1969; Грушинский Н. П., Теория фигуры Земли, М., 1963.
Г. А. Мещеряков.
Координаты (математ.)
Координа'ты [от лат. co (cum) — совместно и ordinatus — упорядоченный, определённый], числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на любой поверхности или в пространстве. Первыми вошедшими в систематическое употребление К. являются астрономические и географические К. — широта и долгота, определяющие положение точки на небесной сфере или на поверхности земного шара (см. Небесные координаты , Географические координаты ). В 14 в. французский математик Н. Орем пользовался К. на плоскости для построения графиков, называя долготой и широтой то, что теперь называют абсциссой и ординатой. Более систематически К. стали применяться к вопросам геометрии на плоскости в 17 в. Заслуга выяснения всего значения метода К., позволяющего систематически переводить задачи геометрии на язык математического анализа и, обратно, истолковывать геометрически факты анализа, принадлежит французскому учёному Р. Декарту. Кроме К. точки, рассматривают также К. прямой, плоскости и других геометрических объектов. В теоретической механике употребляют К. механических систем — числа, определяющие положение механической системы (например, некоторого твёрдого тела) в каждый момент времени.
Координаты точки на плоскости . Аффинные, или общие декартовы, К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (начало К.) и два не лежащих на одной прямой вектора
и
, исходящих из точки
О . Положение точки
Р определяется (в выбранной системе К.) двумя К.: абсциссой
и ординатой
,
где XP параллельно OB и YP параллельно ОА. В частном случае, когда векторы
и
перпендикулярны и имеют одну и ту же длину, получают наиболее употребительные прямоугольные К. Если угол между
и
произволен, но длины этих векторов одинаковы, то получают те косоугольные К., рассмотрением которых ограничивался сам Декарт (часто только их и называют декартовыми, сохраняя для общих декартовых К. название аффинные К.).
Полярные К. точки на плоскости получают, выбирая точку О (полюс). выходящий из неё луч ON и единицу измерения длин. Координатами точки Р служат расстояние r = OP н угол j = ÐNOP. Чтобы получить возможность поставить в соответствие каждой точке плоскости Р пару чисел (r, j ), достаточно рассматривать r и j , подчинённые неравенствам 0 £r <¥, 0£j <2
. За исключением точки
О , для которой
r= 0, а угол
j не определён, соответствие между точками
Р, отличными от
О , и парами (
r, j ), подчинёнными указанным условиям, взаимно однозначно.
Из других специальных систем К. на плоскости следует отметить также эллиптические координаты .
В случае аффинных К. линии х= const образуют пучок прямых, параллельных оси Oy , а линии у = const — другой пучок прямых, параллельных оси Ox , через каждую точку плоскости Р (х , у ) проходит одна прямая первого пучка (х = x ) и одна прямая второго пучка (у = y ). В случае полярных К. линии r = const являются окружностями, а линии j = const — лучами, выходящими из начальной точки О ; через каждую точку Р , отличную от О , проходит ровно по одной линии каждого из двух семейств; отметки r и j этих двух линий и являются К. точки Р . В более общем случае можно рассмотреть в какой-либо области G плоскости две функции точки u (Р) и u(P) такого рода, что каждая линия u (Р) = const пересекается с каждой линией семейства u(P) = const в пределах области G не более чем в одной точке. Очевидно, что в этом случае числа u (Р) и u(Р) однозначно определяют положение точки Р в области G , т. е. являются К. точки Р в этой области; линии, определяемые уравнениями u = const или u = const, называют при этом координатными линиями.
Криволинейные координаты на поверхности. Изложенная идея применима без всяких изменений и к введению криволинейных К. на произвольной поверхности. Например, для случая долготы j и широты q на сфере линиями j = const являются меридианы, а линиями q = const — широтные круги, расположение которых всем хорошо известно из элементов географии. Криволинейные, или, как их иначе называют, гауссовы, К. на произвольной поверхности являются основным аппаратом дифференциальной геометрии поверхностей.
