df (xi + 1 /2 h) º dyi+1/2 = f (xi+1 ) - f (xi ),
d2 f (xi ) º d2 yi = dyi+1/2 ,
d2m-1 f (xi + 1 /2 h) º d2т—1yi+1/2 = d2т—2yi+1 -d2т—2yi ,
d2m f (xi ) º d2т уi = d2т—1yi+1/2 - d2т—1yi-1/2
Они дополняются средними арифметическими
,
,
где m = 1,2,...; если m = 0, то полагают
.
Центральные разности dny связаны с конечными разностями Dny соотношениями
d2т уi = D2т уi-m ,
d2т+1yi+1/2 = D2m+1 yi-m
Если значения аргумента не составляют арифметической прогрессии, т. е. xk+1 - xk не есть тождественно постоянная, то вместо конечных разностей пользуются разделёнными разностями, последовательно определяемыми по формулам
…………………………..……………………
.
Связь между конечными разностями и производными устанавливается формулой Dn yk = f (n) (), где xk ££xk+n . Существует полная аналогия между ролью конечных разностей в теории функций дискретного аргумента и ролью производных в теории функций непрерывного аргумента; конечные разности являются удобным аппаратом при построении ряда разделов численного анализа: интерполирование функций, численное дифференцирование и интегрирование, численные методы решения дифференциальных уравнений.
Например, для приближённого решения дифференциального уравнения (обыкновенного или с частными производными) часто заменяют входящие в него производные соответствующими разностями, деленными на степени разностей аргументов, и решают полученное таким способом разностное уравнение (одномерное или многомерное).
Важный раздел К. р. и. посвящен решению разностных уравнений вида
F [x,(f (x),..., Dn f (x)] = 0 (1)
задаче, во многом сходной с решением дифференциальных уравнений n- го порядка. Обычно уравнение (1) записывают в виде
Ф [х, f (x), f (x1 ),..., f (xn ) ] = ,
выражая разности через соответствующие значения функции. Особенно простой случай представляет линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
f (x+n) + a1 f (x+n-1) +... + an f (x) = 0,
где a1 ,..., an — постоянные числа. Чтобы решить такое уравнение, находят корни l1 , l2 ,... ln его характеристического уравнения
ln + a1 ln-1 +...+an = 0.
Тогда общее решение данного уравнения представится в виде
f (x) = С1 l1х + C2 l2x +... + Cn lnx ,
где C1 , C2 ,..., Cn— произвольные постоянные (здесь предполагается, что среди чисел l1 , l2 ,..., ln нет равных).
Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1—2, М., 1966; Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3 изд., М., 1967.
Под редакцией Н. С. Бахвалова.
Конжаковский камень
Конжако'вский ка'мень, один из самых высоких горных массивов Урала. Расположен в северной части Среднего Урала, в Свердловской области РСФСР. Высота 1569 м. Сложен пироксенитами, дунитами и габбро. Склоны глубоко изрезаны речными долинами и покрыты хвойными лесами (сосна, лиственница, ель) с примесью берёзы. Выше 900—1000 м — горная тундра, каменные россыпи.
Кони Анатолий Федорович
Ко'ни Анатолий Федорович [28.1(9.2).1844, Петербург, — 17.9.1927, Ленинград], русский юрист, общественный деятель и литератор, сын Ф. А. Кони . Доктор права (1890), почётный член Московского университета (1892), почётный академик Петербургской АН (1900), член Государственного совета (1907), член законодательной комиссий по подготовке многочисленных законов и положений, член и председатель Петербургского юридического общества (1916). Окончил юридический факультет Московского университета (1865). С 1866 служил в судебных органах (помощником секретаря судебной палаты в Петербурге, секретарь прокурора Московской судебной палаты, товарищ прокурора Сумского и Харьковского окружных судов, прокурор Казанского окружного суда, товарищ прокурора, а затем прокурор Петербургского окружного суда, обер-прокурор кассационного департамента Сената, сенатор уголовного кассационного департамента Сената). Сторонник демократических принципов судопроизводства, введённых судебной реформой 1864 (суд присяжных, гласность судебного процесса и т. д.). В области государственного и общественного строя придерживался умеренно-либеральных взглядов. Приобрёл широкую известность в связи с делом В. И. Засулич , обвинявшейся в покушении на убийство петербургского градоначальника генерала Ф. Ф. Трепова. Деятельность К. носила прогрессивный, гуманный характер. После Великой Октябрьской социалистической революции К. продолжал литературную работу, был профессором уголовного судопроизводства в Петроградском университете (1918—22), выступал с лекциями в научных, общественных, творческих организациях и культурно-просветительных учреждениях.
В литературных произведениях К. создал яркие портреты крупных государственных и общественных деятелей своего времени. Особую известность приобрели его записки судебного деятеля и воспоминания о житейских встречах (составили 5 томов сборников под общим названием «На жизненном пути», 1912—29), юбилейный (1864—1914) сборник очерков и статей «Отцы и дети судебной реформы» и др.
Соч.: Собр. соч., т. 1—8, М., 1966—69.
Лит.: Арсеньев К., Русское судебное красноречие, [о кн.] А. Ф. Кони. Судебные речи, СПБ, 1888, «Вестник Европы», 1888, т. 2, кн. 4; Владимиров Л. Е., Русский судебный оратор А. Ф. Кони, Х., 1889, М., 1892.
А. В. Вольский.
А. Ф. Кони.
Кони Федор Алексеевич
Ко'ни Федор Алексеевич [9(21).3.1809, Москва,— 25.1(6.2).1879, Петербург], русский писатель и театральный деятель. В 1830-е гг. переводил и переделывал иностранные пьесы для русской сцены. Водевили 40—50-х гг. — «Петербургские квартиры», «Титулярный советник», «Беда от сердца и горе от ума» и др. — написаны в духе натуральной школы . В 1840—56 К. издавал журнал «Репертуар и Пантеон» (выходил также под названием «Репертуар русского театра» и «Пантеон»); автор работы «Русский театр, его судьба и его историки» (1864) и др.
