При изучении К. большое значение имеют те или иные способы сличения друг с другом различных К. Одним из наиболее плодотворных является гомоморфное отображение (гомоморфизм), т. е. такое однозначное отображение R ®R' кольца R на кольцо R', что из а ® a', b ®b' следует а + b ® a' +b' и ab ® a'b'. Если это отображение также и взаимно однозначное, то оно называется изоморфизмом, а кольца R и R' изоморфными. Изоморфные К. обладают одинаковыми алгебраическими свойствами.
Множество М элементов кольца R называют подкольцом, если М само является К. относительно операций, определённых в R. Подкольцо М называют левым (правым или двусторонним) идеалом кольца R, если для любых элементов т из М и r из R произведение rm (соответственно mr или как rm, так и mr ) лежит в М. Элементы а и b кольца R называют сравнимыми по идеалу М, если а — b принадлежит М. Всё К. разбивается на классы сравнимых элементов — классы вычетов по идеалу М. Если определить сложение и умножение классов вычетов по двустороннему идеалу М через сложение и умножение элементов этих классов, то сами классы вычетов образуют К. — фактор кольцо R/M кольца R по идеалу М. Имеет место теорема о гомоморфизме К.: если каждому элементу К. поставить в соответствие содержащий его класс, то получают гомоморфное отображение кольца R на факторкольцо RM; обратно, если R гомоморфно отображается на R', то множеством элементов из R, отображающихся в нуль кольца R', будет двусторонним идеалом в R, и R' изоморфно R/M.
Среди различных типов К. легче других поддаются изучению и сравнительно чаще находят приложение так называемые алгебры: кольцо R называют алгеброй над полем Р, если для любых a из Р и r из R определено произведение ar также из R, причём (a + b) r = ar + br , a(r + s )= ar + as, (ab) r = a(br), a(rs ) = (ar ) s = r (as ), er = r для любых a, b из Р и r, s из R, где e — единица поля Р. Если все элементы алгебры линейно выражаются через n линейно независимых элементов (см. Линейная зависимость ), то R называют алгеброй конечного ранга n, или гиперкомплексной системой (см. Гиперкомплексные числа ). Примерами алгебр могут служить комплексные числа (алгебра ранга 2 над полем действительных чисел), полное К. матриц с элементами из поля Р (которое является алгеброй ранга n2 над Р ), К. примера 10 (алгебра ранга 4 над полем действительных чисел), К. примера 8 и др.
Для целых чисел и К. многочленов справедлива теорема об однозначной разложимости элемента в произведение простых, т. с. далее не разложимых элементов. Эта теорема верна для любых К. главных идеалов, то есть областей целостности, в которых любой идеал состоит из кратных одного элемента. Частным случаем таких К. являются евклидовы К., то есть К., где любому элементу а ¹ 0 соответствует неотрицательное целое число n (a ), причём n (ab ) ³ n (a ) и для любых а и b ¹ 0 существуют такие q и r, что а = bq +r и либо n (r )<n (b ), либо r = 0. Таковы, например, К. многочленов и К. примеров 1 и 6. Для широкого класса К. верна теорема об однозначном разложении идеала в произведение простых идеалов, хотя для самих элементов она не выполняется. Основы теории разложения идеалов и абстрактных К. были заложены Э. Нётер (в 20-х гг. 20 в.).
Одним из первых в России теорией К. занимался Е. И. Золотарёв (70-е гг. 19 в.); его исследования относятся к числовым К., а именно — к теории разложения идеалов в них. В Советском Союзе теория К. разрабатывается в основном в трёх центрах: Москве, Новосибирске и Кишиневе.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, М. — Л., 1951; Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1—2, М. — Л.,1947; Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.
Кольцов Алексей Васильевич
Кольцо'в Алексей Васильевич [3(15).10.1809, Воронеж, — 29.10(10.11).1842, там же], русский поэт. Родился в семье воронежского мещанина, торговца скотом. С детских лет принимал участие в делах отца — перегонял стада в степях, покупал и продавал скот на деревенских базарах. Учился в уездном приходском училище менее полутора лет. В 16 лет начал писать стихи, подражая популярным поэтам того времени. Первым наставником К. был воронежский семинарист А. П. Серебрянский. В 1830 К. встретился с приезжавшим в Воронеж Н. В. Станкевичем , который познакомил со стихами безвестного юноши московских литераторов, в том числе В. Г. Белинского, вскоре ставшего для К. близким другом, учителем жизни. Влияние Белинского на судьбу К. как поэта было решающим: он способствовал формированию его мировоззрения, освобождению от элементов религиозности.
В 1835 Станкевич и Белинский на средства, собранные по подписке, издали 1-ю книжку стихов К. Талант поэта-самоучки горячо поддержали А. С. Пушкин, И. А. Крылов, П. А. Вяземский, В. Ф. Одоевский. Передовых современников привлекла глубокая народность стихотворений К., резко отличавшая их от многочисленных подделок под народную поэзию. К. воспевал радостный труд человека на земле, слитность его с природой («Песня пахаря», «Урожай», «Косарь»). Реалистические картины сочетаются в некоторых его стихах с известной идеализацией народной жизни. Однако передовая русская критика (Н. А. Добролюбов, Н. Г. Чернышевский, М. Е. Салтыков-Щедрин) ценила, прежде всего, демократическое содержание творчества К., открывшего для поэзии новые жизненные пласты, рассматривала его талант как свидетельство творческих сил, таящихся в народе. Белинский писал, что вместе с напевной лирикой К. в литературу «... смело вошли и лапти, и рваные кафтаны, и всклокоченные бороды, и старые онучи, — и вся эта грязь превратилась у него в чистое золото поэзии» (Полн. собр. соч., т. 9, 1955, с. 534). Называя К. «великим народным поэтом», Добролюбов отмечал, что его песни «... составили у нас совершенно особый, новый род поэзии... Кольцов первый стал представлять в своих песнях настоящего русского человека, настоящую жизнь наших простолюдинов так, как она есть, ничего не выдумывая» (Собр. соч., т. 1, 1961, с. 440).
Суждения К. о литературе, высказанные в письмах к друзьям, показывают, что поэт, несмотря на трагические обстоятельства его личной жизни, на невыносимую узость мещанского мира, в котором он задыхался, продолжал развиваться в направлении, предуказанном Белинским. Об этом же говорит и стихотворение К. «Лес» (1837), в котором с эпической силой воспет только что погибший Пушкин и отдано должное его гению. Подлинная народность образов, свежесть и яркость языка, вобравшего богатства народно-песенного творчества, соединялись в зрелых стихах К. с большой социальной мыслью. Многие песни и стихи К. положены на музыку А. С. Даргомыжским, Н. А. Римским-Корсаковым, М. П. Мусоргским, М. А. Балакиревым и другими композиторами.
Соч.: Полн. собр. стихотворений, Л., 1958; Соч., т. 1-2, М., 1961; Соч., М., 1966.
Лит.: Белинский В. Г., О жизни и сочинениях Кольцова, Полн. собр. соч., т. 9, М., 1955; Тонков В. А., А. В. Кольцов. Жизнь и творчество, 2 изд., Воронеж, 1958; Чичеров В., Русская песня и песни-стихи А. В. Кольцова, в его кн.: Вопросы теории и истории народного творчества, М., 1959.
