Логические законы , соответствующие правильным рассуждениям в П. л. (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях , из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией — импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией , дизъюнкцией , импликацией и эквиваленцией.

  Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика ) задаётся с помощью двух аксиомных схем:

  1. А É (В É A),

  2. (A É (В É С )) É ((А É В ) É (А É C )

  и правила modus ponens; полное положительное исчисление высказываний — добавлением к схемам (1) и (2) следующих:

  3. (А & В ) É А ,

  4. (A & В ) É В,

  5. А É (В É (A & В )),

  6. (A É С ) É ((B É С ) É ((А Ú В ) É C )),

  7. А É (A ÚB ),

  8. В É (A Ú B )

и определения эквиваленции как сокращения для выражения (А É В ) & (В É А ). Более сильные логические исчисления получаются из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы

  9. (А É В ) É ((А Éù В ) É ù А )

или соответствующего ей правила reductio ad absurdum даёт минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний — минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя: к последней схему

  10. ù А É (А É В )

(противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему

  11. ù А (А

(исключенного третьего принцип ), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.

  Поскольку все законы П. л. имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы — вообще как «частичные системы». Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые «сами по себе», и «те же» исчисления «внутри» более сильной логики — это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.

  Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 1:1, §§ 2—6.

  М. М. Новосёлов.

Положительно-определённая форма

Положи'тельно-определённая фо'рма , выражение вида

a_ik x_i x_k ,

где a_ik= a_ki , принимающее неотрицательные значения при любых действительных значениях x₁ , х₂ ,..., x_n и обращающееся в нуль лишь при x₁ = х₂ =... = x_n = 0. Т. о., П.-о. ф. есть квадратичная форма специального типа. Любая П.-о. ф. приводится с помощью линейного преобразования к виду

x²_i

  Для того чтобы

a_ik x_i x_k

была П.-о. ф. необходимо и достаточно, чтобы D₁ > 0, …, D_n > 0, где

  В любой аффинной системе координат расстояние точки от начала координат выражается П.-о. ф. от координат точки. Форма

,

(где

 — число, комплексно сопряжённое с x_k , см. Комплексные числа ) такая, что a_ik =

 и f ³ 0 для всех значений x₁ , х₂ ,..., x_n и f = 0 лишь при x₁ = х₂ =... = x_n = 0, называется эрмитовой П.- о. ф.

  С понятием П.-о. ф. связаны также понятия: 1) положительно-определённой матрицы ||a_ik || — такой матрицы , что

a_ik x_i x_k

есть эрмитова П.-о. ф.;

2) положительно-определённого ядра — такой функции К (х, у ) =

, что

для любой функции x(х ) с интегрируемым квадратом; 3) положительно-определённой функции — такой функции f (x ), что ядро К (х, у ) = f (x - y ) является положительно-определённым. Класс непрерывных положительно-определённых функций f (x ) c f (0) = 1 совпадает с классом характеристических функций законов распределения случайных величин.

Положительные формы рельефа

Положи'тельные фо'рмы релье'фа , относительно повышенные (выпуклые) неровности земной поверхности, лежащие выше среднего гипсометрического (батиметрического) уровня прилегающей области суши (например, горный хребет, возвышенность) или морского дна.

Положительные числа

Положи'тельные чи'сла , числа, большие нуля; см. Число .

Полозы

По'лозы (Coluber), род змей семейства ужей. Длина до 2,4 м. Верхняя сторона тела обычно одноцветная, иногда с тёмными полосами и пятнами, нижняя — светлее. Молодые П. окраской часто отличаются от взрослых. Около 30 видов, распространены в Южной Европе, Азии, в Северной и Восточной Африке, в Северной и частично Центральной Америке. В СССР — 6 видов; 3 из них: краснополосый П. (С. rhodorhachis), поперечнополосатый П. (С. karelini) и тонкий (С. spinalis) — встречаются в Средней Азии и Казахстане; разноцветный П. (С. ravergieri) и оливковый (С. najadum) — в Средней Азии и на Кавказе; желтобрюхий П. (С. jugularis) — в Европейской части СССР, на Кавказе и на Ю. Туркмении. П. обитают в степях, полупустынях, пустынях, а также в лесистых местах на равнинах и в горах (например, разноцветный П. — на высоте до 2500 м ). П. очень подвижны. Питаются преимущественно мышевидными грызунами, ящерицами, птенцами и небольшими птицами; молодые — насекомыми. Большинство ловит добычу, хватая её зубами и сжимая затем кольцами тела или прижимая к земле. Все П. яйцекладущи. Самка откладывает до 25 яиц. Укус П., как и др. змей семейства ужей, для человека безопасен, но может быть болезнен. Иногда «П.» называют также змей близких родов Elaphe, Ptyas и некоторых др.