Если окрестность данной точки Р на поверхности отобразить на сферу единичного радиуса, ставя в соответствие каждой точке окрестности конец радиуса, направленного так же, как вектор нормали к поверхности в рассматриваемой точке, то отношение площади полученной части сферы к площади окрестности на поверхности будет стремиться к П. к., если окрестность будет стягиваться к точке Р. Для того чтобы это утверждение было верным во всех случаях, нужно при подсчёте площадей на сфере приписывать им знаки + или — в зависимости от направления обхода границы на сфере при определённом направлении обхода области на поверхности.

  П. к. остаётся неизменной при изгибании поверхности, т. е. при такой её деформации, при которой длины линий на поверхности не изменяются. См. Поверхностей теория .

Полная мощность

По'лная мо'щность , кажущаяся мощность, величина, равная произведению действующих значений периодического электрического тока в цепи I и напряжения U на её зажимах: S=U ×I; для синусоидального тока (в комплексной форме)

, где  — комплексное действующее значение напряжения,  — комплексная величина, сопряжённая с комплексным действующим значением тока. , где Р — активная мощность , Q — реактивная мощность (при индуктивной нагрузке Q > 0, а при ёмкостной Q < 0). Измеряется в ва.

Полная производная

По'лная произво'дная , производная по t от функции у = F (t, x₁ ,..., x_n ), зависящей от t и x₁ ,..., x_n . П. п. выражается формулой

.

Полная система вычетов

По'лная систе'ма вы'четов по модулю m, любая совокупность целых чисел, содержащая по одному числу из каждого класса чисел по модулю m (два целых числа а и b принадлежат одному классу по модулю m, если а - b делится на m; см. Вычет ). В качестве П. с. в. чаще всего применяется система наименьших положительных вычетов 0, 1, 2,..., m — 1 или система абсолютно наименьших вычетов:

 для нечетного m и  для четного m. Любые m чисел, принадлежащих различным классам по модулю m, образуют П. с. в. по этому модулю.

Полная система функций

По'лная систе'ма фу'нкций , такая система функций Ф = {j(x :)}, определённых на отрезке [a, b ], что не существует функции f (x ), для которой,

 и которая была бы ортогональна ко всем функциям j(х ) из Ф, т. е. для которой

при любой функции j(х ) из Ф (интегралы понимаются в смысле Лебега, см. Интеграл ). Система функций может быть полной на одном отрезке и не быть полной на другом. Например, 1, sinx, cos х, ..., sinnx, cosnx,... образуют П. с. ф. на отрезке [0, 2p], но не образуют П. с. ф. на отрезке [—2p, 2p]; последнее вытекает из того, что

для любой функции j(x ) рассматриваемой системы. Для того чтобы система функций с интегрируемым квадратом была П. с. ф., необходимо и достаточно, чтобы любую функцию с интегрируемым квадратом на отрезке [а,b ] можно было с любой степенью точности приблизить в среднем линейными комбинациями функций из этой системы. См. Ортогональная система функций .

Полная спелость

По'лная спе'лость хлебных злаков, твёрдая спелость, завершающая фаза созревания зерна хлебных злаков. В фазе П. с. растения пшеницы, ржи, овса и ячменя характеризуются полным пожелтением и высыханием стеблей, зерно становится твёрдым, ножом не режется, а раскалывается. Морфологическое формирование зерна и его химического состава полностью заканчивается, однако физиологическая зрелость его ещё не наступает (зерно не прорастает или имеет пониженную всхожесть). Полной физиологической зрелости зерно достигает только после периода послеуборочного дозревания. Продолжительность фазы П. с. 3—5 сут. При перестое снижается качество и увеличиваются потери зерна от осыпания.

Полногласие

Полногла'сие , специфическая лексикофонетическая черта современных восточно-славянских языков. В русском языке П. проявляется в наличии графической последовательности «оро», «оло», «ере», «ело» в словах общеславянского или восточно-славянского происхождения: корова, молоко, болото, берег, жёлоб. П. возникло под воздействием тенденции к открытому слогу в 3—5 вв. как результат преобразования праславянских дифтонгических сочетаний (or), (ol), (ег), (el) между согласными (tort, tolt, tert, telt). В соответствии с русским П. в южно-славянских языках, а также в чешском и словацком эти сочетания изменились в trat, tlat, tret, tlet (современные болгарские крава, блато, бряг, мляко); в западно-славянских языках — в trot, tlot, tret, tlet (современные польские krowa, bloto, brzeg, mleko).

Полное внутреннее отражение

По'лное вну'треннее отраже'ние , отражение оптического излучения (света) или электромагнитного излучения другого диапазона (например, радиоволн) при его падении на границу раздела двух прозрачных сред из среды с большим преломления показателем (ПП). П. в. о. осуществляется, когда угол падения i превосходит некоторый предельный (называется также критическим) угол i_пр . При i > i_np преломление во вторую среду прекращается. Впервые П. в. о. описано И. Кеплером . После открытия Снелля закона преломления стало ясно, что в рамках геометрической оптики П. в. о. — прямое следствие этого закона: оно обусловлено тем, что угол преломления j не может превышать 90° (рис. 1 ). Величина i_пр задаётся условием sini_пр = 1/n, где n — относительный ПП 1-й и 2-й среды. Значения n и, следовательно, i_пр несколько отличаются для разных длин волн (частот) излучения (дисперсия света ). При П. в. о. электромагнитная энергия полностью (отсюда — «полное») возвращается в оптически более плотную (с большим ПП) среду. Значение отражения коэффициента при П. в. о. превосходит его самые большие значения для зеркального отражения от полированных поверхностей и практически с высокой точностью равно 1. Кроме того, этот коэффициент при П. в. о., в отличие от зеркального отражения, не зависит от длины волны излучения (при условии, что для этой длины волны П. в. о. вообще имеет место) и даже при многократном П. в. о. спектральный состав («цвет») сложного излучения не меняется. Поэтому П. в. о. широко используется во многих оптических приборах и экспериментах (см., например, Волоконная оптика , Отражательные призмы , Поляризационные призмы , Световод , см. рис. 2 и 3 ). Следует, однако, отметить, что энергия электромагнитных волн при П. в. о. частично проникает во 2-ю (с меньшим ПП) среду, но затем возвращается обратно. Глубина этого проникновения весьма невелика — порядка длины волны отражаемого света. См. также Отражение света , Преломление света , Френеля формулы .