Когда вы знакомите ребенка с дробями, связывая их с реальной жизнью (объясняя, к примеру, что значит «полпути», «полчетвертого» и «полчаса»), у него возникает стремление поглубже изучить эту тему. Такие занятия развивают математические способности, к тому же они помогут восстановить в памяти понятие дробей, когда ребенок забудет какое-нибудь правило.

Путаница с числителями и знаменателями

Когда мои ученики путают числитель и знаменатель, я беру коробку с шестью цветными мелками и даю по такой же коробке каждой группе, сидящей за одним столом. Сначала дети убеждаются в том, что в коробке шесть мелков, и пишут цифру 6. Я говорю: «У меня в коробке шесть мелков», а затем указываю на мелки и цифру 6 на доске. После этого я вынимаю один мелок и над цифрой 6 пишу 1, а затем провожу между ними горизонтальную линию и предлагаю ученикам сказать, что я сделала, когда взяла из коробки один мелок.

Выполняя это упражнение дома, помогайте ребенку понять, что -1/6 – это дробь, которая показывает, какая часть мелков от общего количества была взята из коробки.

Спросите у ребенка:

• «Как ты думаешь, что в данном случае означает “шесть”?» (Количество мелков в коробке.)

• «Как ты думаешь, что в данном случае означает “один”?» (Количество взятых мелков.)

• «Как ты мог бы расшифровать этот код (использование слова “код” вместо “математическая запись” позволит внести интригу в занятие, заинтересовать ребенка), чтобы показать, какую часть мелков я вынула из коробки?» Рядом с дробью 1/6 можете написать словами «одна шестая» и объяснить: «Это одна из шести частей».

• «Теперь, когда один мелок взят из коробки, как ты мог бы написать математический код для мелков, оставшихся в коробке, где первоначально их было шесть штук?» Сделайте паузу перед словом «шесть», как делали это раньше, применяя метод безошибочного чтения, чтобы ребенок успел сам произнести слово «шесть» до того, как его скажете вы. Запишите 6 в знаменателе и проведите над этой цифрой линию. Ребенку останется заполнить только одно место – числителя, когда он сосчитает пять оставшихся в коробке мелков.

Начиная с этого момента действиями ребенка будет руководить его любознательность; усвоив данную концепцию, он захочет узнать, как записывать другие числители и знаменатели. Как только ребенок поймет, какое число в дроби должно стоять вверху, а какое – внизу, и будет в состоянии своими словами описать, что означает верхняя цифра, а что – нижняя, вы уже можете вводить понятия «смешанная» и «простая дробь». После этого я рассказываю ученикам какую-нибудь историю, чтобы помочь им осознать связь между дробями и делением (понять, что, например, 2/4 означает 2: 4).

Действия с дробями

Попросите ребенка выполнить разные вычисления с одинаковыми цифрами. Например: «Какие числа ты можешь сложить вместе, чтобы получилась дата твоего рождения (или сегодняшняя дата)?» Возможно, он начнет с двух слагаемых, а потом поймет, что можно складывать три, четыре и более целых и дробных чисел. Так он сможет получать один ответ множеством способов.

Ребенку, который уже знаком с дробями, задайте следующий вопрос: «Можно ли умножить два числа и получить произведение, которое будет меньше, чем любое из этих чисел?» Если ребенок скажет: «Нет, когда ты умножаешь, числа всегда становятся больше», вам представляется удобная возможность познакомить его с умножением дробей, поскольку когда перемножаются две дроби с одним и тем же знаком (обе с положительным или обе с отрицательным), произведение всегда получается меньше, чем любой из множителей.

Если ребенок ответит правильно, вы можете задать ему более абстрактный вопрос, например: «Что бы ты предпочел иметь: половину четверти или четверть половины пиццы?» Формулируя вопрос так, как будто у него есть только один правильный ответ (когда на самом деле правильны оба), вы заставляете ребенка думать логически, и рано или поздно у него наступает момент прозрения, когда он вдруг начинает понимать, что 1/4 × 1/2 = 1/2 × 1/4 = 1/8. Чтобы помочь ребенку, нарисуйте пиццу, разделенную на соответствующее количество кусочков. Можете также задать ему этот вопрос, когда на столе перед ним стоит настоящая пицца. Тогда у ребенка активируется мультисенсорная память, и запах, вкус, внешний вид пиццы помогут ему запомнить то, что вы изучали.

Вы будете удивлены тем, сколько благоприятных возможностей, позволяющих изучать деление и умножение дробей, существует вокруг. Вы можете сказать ребенку, какова емкость бака вашего автомобиля. Заправляя его бензином, посмотрите, сможет ли ребенок высказать предположение относительно того, сколько литров покажет счетчик насоса, когда бак будет заполнен наполовину. Ребенок также может подсчитать, сколько километров проходит автомобиль, сжигая один литр бензина, а затем умножить это расстояние на стоимость литра топлива, чтобы узнать, во сколько вам обойдется поездка в какой-то конкретный город.

Если ваш ребенок знаком с музыкальной грамотой, свяжите дроби с длительностью нот, а потом проигрывайте целые, половинные, четвертные и восьмые ноты, связывая их с дробями. Вскоре он поймет, что две восьмые ноты – это то же самое, тго одна четвертная нота.

Концептуальное мышление на раннем этапе развития

Десятичные дроби изучают после обыкновенных. Возможно, ребенку будет проще, если перед тем, как проходить эту тему в классе, вы сами ознакомите его с десятичными дробями.

Начертите на листе миллиметровой бумаги квадрат размером 10 × 10 клеток. Получится 100 квадратиков. Если у вас ребенок ВПК-типа, начертите на металлической магнитной доске большой квадрат размером 10 × 10 клеток. Ребенку понравится двигаться, раскрашивая квадраты, или перемещать по квадратам, к примеру, магнитные карточки.

Занятия с десятичными дробями начинайте с использования одного квадрата размером 10 × 10 клеток. Сколько всего клеток обведено? Сколько вертикальных рядов? Сколько квадратов в каждом из них? (10 рядов по 10 квадратов.) Сколько горизонтальных рядов? Сколько клеток в каждом из них? (10 рядов по 10 клеток.) Начертите еще два квадрата по 100 клеток. Сколько всего клеток в трех квадратах? Ребенок может давать ответы более осознанно, если вы раскрасите клетки в вертикальном ряду первого квадрата одним цветом, а в горизонтальном ряду второго – другим.

Десятичные дроби остаются десятичными дробями независимо от того, «большие» они или «маленькие»

Возьмите миллиметровую бумагу с крупными и мелкими клетками. Начертите квадрат, состоящий из 100 больших клеток. Для начала ребенок должен понять, что, к примеру, число 0,12 может быть представлено как крупными, так и мелкими клетками, но в любом случае это будет одно и то же число.

Когда у ребенка сформируется ясное понимание этого факта, он сможет своими словами объяснить, что величина десятичной дроби зависит от количества закрашенных квадратиков, а не от площади закрашенного участка или размера клеток. Теперь можно переходить к сравнению десятичных дробей. Начните с клеток одинакового размера и цвета, но с разным их количеством в разных квадратах, переходя от меньшего числа закрашенных клеток к большему. Попросите ребенка описать каждый из квадратов с разным количеством закрашенных клеток («10 из 100 клеток красные» и т. д.).

Затем предложите ему закрасить в одном из квадратов определенное количество клеток и объяснить, что получилось. После этого пусть он переходит к следующему квадрату, закрасит больше клеток и скажет, что получилось. Теперь пусть закрасит меньшее количество клеток и тоже объяснит, что вышло.

Достаточно попрактиковавшись, ребенок будет готов к тому, чтобы сравнивать записанные десятичные дроби (например, 0,4 и 0,6), а не закрашенные клетки. Пусть он скажет, какое число больше, а потом докажет свое предположение. Большинство детей предпочтет раскрасить соответствующее количество клеток и сравнить их, но если ваш ребенок относится к АЛ-типу, то, возможно, ему будет проще ответить устно. Ученики ВПК-типа наверняка захотят вернуться к перемещению магнитных карточек.