До конца XVIII века инженерное образование в Европе развивалось по трем основным направлениям: 1) военное (строительство оборонительных и фортификационных сооружений); 2) путейское (строительство дорог, мостов, каналов и портовых сооружений); 3) горное (создание рудников и шахт, добыча и обработка полезных ископаемых, металлургия). По всем трём направлениям подготовка инженеров осуществлялась на основе индивидуального обучения, очень дорогостоящего и в конечном счёте малоэффективного. Затраты на обучение одного инженера достигали 35% от стоимости выполненных им впоследствии работ. Поэтому стремительное развитие капитализма во Франции потребовало изменения системы образования, а именно увеличения числа инженеров, без снижения их качества. Лучшие умы Франции, такие учёные, как Жан-Родольф Перроне и Гаспар Монж, взялись за решение проблемы. Они-то и стали первыми учителями Бетанкура.

Гаспар Монж родился 10 мая 1746 года в маленьком провинциальном городке с прозаическим названием Бон, в Бургундии. Начальное образование получил в городском училище. Уже в шестнадцать лет, используя метод прямой горизонтальной проекции, Монж составил замечательный по точности чертёж родного города. Необходимые для составления плана приборы для измерения углов и начертания линий он изобрёл сам. Поступив в Мезьерскую школу военных инженеров, скоро стал лучшим учеником. Ещё в годы учёбы получил должность репетитора математики и начал самостоятельно зарабатывать.

В историю науки Монж вошёл как создатель начертательной геометрии. Однако упорное нежелание военного руководства Франции делиться научными достижениями с другими странами заставило Монжа на несколько лет засекретить полученные результаты. Другим крупным трудом Монжа стали исследования по теории поверхности, изложенные в ряде записок, представленных им в Парижскую академию наук.

В 1768 году Монж получает звание профессора математики, а с 1771 года возглавляет кафедру физики в Мезьерской школе военных инженеров. В 1780 году он занял место преподавателя гидравлики в Лувре с обязательством по полгода жить в Париже и Мезьере. Но в 1783 году Монжа избирают членом Парижской академии наук, и он навсегда оставляет старинный город Мезьер, на северо-востоке Франции, вблизи бельгийской границы.

Немного позднее в Париж приедет Бетанкур и станет одним из любимых учеников Монжа. Августин познакомится с основами начертательной геометрии, в частности с оригинальным, впервые применённым Монжем обратным методом использования пространственных отображений при доказательстве теорем планиметрии, когда исследуемая плоская фигура рассматривается как проекция некоторой пространственной.

Монж первый в истории техники введёт курс по основам машин и их элементам. Именно он выдвинет очень смелую по тем временам гипотезу: для любой машины главной характеристикой является движение; существенным звеном в машине является передача и преобразование движения; машину можно разложить на элементарные узлы, служащие для преобразования одних специальных видов движения в другие.

Конечно, размышления о структуре машин можно найти и у других выдающихся учёных, например у знаменитого швейцарского математика Леонарда Эйлера, долгое время жившего в Санкт-Петербурге. Однако все прежние расчёты в этой области производились методом статики простых механизмов. Монж к этой научной проблеме подошёл с другой стороны. Исходя из того что в основе любой сложной машины лежат простые механизмы, он сформулировал принцип передачи механической энергии через элементарные составляющие машин. Именно такой подход через несколько лет и помог Бетанкуру совместно с Хосе-Мария де Ланцем создать новую науку — теорию механизмов и машин (ТММ).

Вторым главным учителем Бетанкура был Жан-Родольф Перонне, сын швейцарского гвардейца, родившийся в 1708 году. Архитектурную практику Жан-Родольф прошёл в мастерских самых лучших градостроителей Парижа. Он участвовал в постройке большого кольцевого коллектора на правом берегу Сены, а также в работах по укреплению набережных рек и городских дорог. Перроне построил во Франции огромное количество мостов и надводных сооружений.

В 1747 году он возглавил Королевское бюро проектировщиков, куда вошел отдел по созданию карт и планов Французского королевства. По заказу военного министра он придумал новую конструкцию понтонных переправ для армейских нужд, занимался строительством шоссейных дорог. С 1763 года Перроне — главный инженер королевства, через два года — член Французской академии наук.

Во Франции он построил и отремонтировал свыше двух с половиной тысяч километров шоссейных дорог, включая строительство мостов и понтонных переправ. В 1772 году за особые заслуги Перроне избрали иностранным членом Королевской Шведской академии наук.

Когда Бетанкур жил в Париже, Перроне возглавлял Школу мостов и дорог; с системой обучения в ней испанец очень основательно познакомился.

После нескольких месяцев пребывания в школе Бетанкур написал трактат, содержащий новые идеи в области механики. В этой работе, представленной испанскому послу во Франции графу Педро Пабло Абарка де Болеа де Аранде, Бетанкур предложил основать в Мадриде новую инженерную школу, по образцу французской, для подготовки инженеров-гидравликов, или «инженеров дорог и каналов». Целью проекта было также создание «корпорации инженеров мостов и мощёных дорог». В своём трактате Бетанкур подробно объяснял, почему выпускники школы уже в ближайшем будущем смогут возглавить строительство всех гражданских технических сооружений в Испании. Проект недвусмысленно был направлен против засилья военных инженеров и архитекторов, не имеющих специальных знаний в гидравлике.

Предложение Бетанкура понравилось испанскому посланнику во Франции, и в июле 1785 года он отправил Августина в Мадрид с рекомендательным письмом к дону Флоридабланке. Карл III поддержал идею Бетанкура и согласился на реализацию проекта. Августину поручили сразу несколько заданий: пройти вместе с группой пенсионеров испанского правительства обучение в Школе мостов и дорог для получения звания инженера-гидравлика; приобрести в этой школе или других научно-технических центрах лучшую специализацию в области механики; составить коллекцию моделей машин, используемых при публичных работах или на промышленных предприятиях.

Ко всем полученным поручениям Бетанкур отнесся с большой ответственностью. В этот период жизни, впрочем, как и всегда, он был полон энтузиазма, любознательности и честолюбия. При этом Бетанкур никогда не забывал и о культурной жизни Парижа. Неудивительно, что он одним из первых посмотрел премьерный спектакль Пьера-Огюстена де Бомарше «Женитьба Фигаро». Пьеса по цензурным соображениям на протяжении нескольких лет была запрещена французским королем Людовиком XVI, и только в конце апреля 1784 года состоялась её премьера. Кроме того, в Латинском квартале Бетанкур не раз посещал кафе «Le Procope», где познакомился с передовыми деятелями Франции, в том числе Маратом и его близким другом Сеновером, будущим первым директором Института Корпуса инженеров путей сообщения в Санкт-Петербурге.

В испанском посольстве в Париже граф Аранда представил Бетанкура Бенджамину Франклину и Томасу Джефферсону — посланникам США во Франции. Эту встречу Августин Августович ещё не раз вспомнит в Петербурге, когда его жена Анна познакомится с Луизой — женой посла США в России Джона Квинси Адамса, будущего шестого президента Соединенных Штатов. Но об этом речь впереди.

Свою первую поездку во Францию Бетанкур совершил вместе со своим соотечественником с Канарских островов маркизом де Вильянуэва дель Прадо. Оба получили королевскую стипендию в размере 12 тысяч реалов в год. Однако, как уже было сказано, в июле 1785 года Бетанкур был вынужден ненадолго вернуться в Мадрид. Второе пребывание Бетанкура во Франции было уже долгим: с сентября 1785 года по июль 1791-го. Для открытия в Мадриде Школы каналов и дорог во Францию были командированы его соотечественники: Хуан Лопес де Пеньалвер, Тома де Вери, Хоакин де Абаитуа Барриентос, Хуан де Мата Молеро, Хосе Бетанкур-и-Кастро (старший брат Августина), Хуан де Фуэнте и создатель макетов Антонио Альварес. Вся эта испанская колония вскоре прибыла в Париж, представлявший в 1785 году ужасное зрелище.