, x ¹ 0,

вовсе не имеет П. при х ® , ибо уже для значений x_n = 1/ (p/2 + pn ) последовательность соответствующих значений функции f (x_n ) = (- 1) ⁿ не имеет П.

  Если П. функции при х ® х равен нулю, то она называется бесконечно малой при х ® х . Например, функция sinx бесконечно мала при х ® 0. Для того чтобы функция f имела при х ® х П., равный А, необходимо и достаточно, чтобы f (x ) = A + a(x ), где a(х ) является бесконечно малой при х ® х

  Если при определении П. функции f в точке x рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x , то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается

 (соответственно ).

  Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:

, ,

  Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство ½f (x ) - А½ < e.

  Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции . Так, если функция f определена на интервале (а, b ) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b П. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x ) = x

 при х ® 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.

  Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x П. в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х' и х'', удовлетворяющих условию ½х’ - x ½ < d, ½x'' — x ½ < d, x'   ¹ x , x'’ ¹ x , выполняется неравенство ½f (x'' ) — f (x' )½ < e.

  Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида

, ,  и т.д.; в этих случаях функция f   называется бесконечно большой при х ® х , При х ® х + 0 или При х ® +¥ соответственно и т.д. Например,

означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенство f (x ) > e.

  Расширение понятия предела функции . Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в некоторой окрестности точки x , кроме, быть может, самой точки x , определяется понятие предела функции по множеству Е

,

для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: х Î Е.   П. последовательности x_n , n = 1, 2, ..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел n формулой f (n ) = x_n , n = 1, 2, ....

  Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет П. при х ® 0, однако по множеству рациональных чисел она при х ® 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например

. Распространяется понятие П. и на функции, которые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.

  Предел интегральных сумм . Ещё одно важное понятие П. возникает при определении интеграла . Пусть, например, функция f определена на отрезке [a, b ]. Совокупность {x_i } таких точек x_i , что

  a = x < x₁ <... < x_i <... < x_n-1 < x_n  = b,

  наз. разбиением отрезка [a , b ]. Пусть x_i-1 £ x_I  < x_i , Dx_i   =  x_i - x_i-1 ,i = 1, 2,..., n. Тогда сумма f (x₁ )Dx₁ + f (x₂ )Dx₂ +... + f (x_n )Dx_n называется интегральной суммой функции f . Число А является пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом:

,

если для любого e > 0 существует такое d > 0, что каково бы ни было разбиение {xi } отрезка [a , b ], для которого Dx_i  < d, и каковы бы ни были точки x_i , x_i-1  £ x_I  £ x_i , i = 1, 2,..., n, выполняется неравенство

½f (x₁ )Dx₁ + f (x₂ )Dx₂ +... + f (x_n )Dx_n - A | < e.

  Понятие П. интегральных сумм может быть введено и с помощью П. последовательности.