Последовательность a_n , n = 1, 2,..., сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой. Последовательность сходится к какому-либо числу тогда и только тогда, когда разность между членами последовательности и этим числом является бесконечно малой последовательностью (т. о., общее понятие П. последовательности сводится к понятию бесконечно малой ). Так, например, последовательность ¹ /₂ , ² /₃ , ³ /₄ ,...,n /(n + 1),... имеет своим П. единицу, поскольку разность 1 — n /(n + 1) = 1/(n + 1), n = 1, 2,... является бесконечно малой последовательностью.

  Всякая возрастающая (убывающая) последовательность, ограниченная сверху (соответственно снизу), сходится. Например, если для заданного числа а обозначить через a_n приближённое значение его корня

 (k — натуральное число) с n десятичными знаками после запятой, вычисленное с недостатком, то a_n £ a_n+1 £ , n = 1, 2, …, поэтому последовательность a_n , сходится, причём из неравенства 0 £  - a_n £ 10^-n следует, что . Др. примером возрастающей ограниченной сверху последовательности является последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, к длине которой сходится эта последовательность.

  Для того чтобы сходилась произвольная последовательность x_n , необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши: для любого числа e > 0 существует такой номер N_e, что для всех номеров m ³ N_e и n ³ N_e выполняется неравенство |x_n — x_m | < e.

  Если последовательность x_n , n = 1, 2,..., такова, что для числа e > 0 существует такой номер n_e , что для всех номеров n ³ n_e выполняется неравенство |x_n | > e, то последовательность x_n , называется бесконечно большой и пишется

  Если же при этом для любого e > 0 существует такой номер n_e , что x_n > e (соответственно x_n < -e) для всех n ³ n_e , то пишется

(соответственно )

  Эти П. называются бесконечными. Например,

. В случае же последовательности n² , n = 1, 2, …,, можно написать не только  но и более точное равенство . Само собой разумеется, что бесконечно большие последовательности не являются сходящимися в смысле данного выше определения этого понятия. На бесконечные П. переносятся далеко не все свойства конечных П. Например, последовательности x_n = n и y_n =

 — n бесконечно большие, а последовательность x_n + y_n ,, n = 1, 2,..., ограниченная и к тому же расходящаяся.

  Частичные пределы. Верхний и нижний пределы . П. (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности x_n , n = 1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается

 (соответственно ). Например,

  Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П. Конечный верхний П. последовательности можно также определить как такое число а, что при любом e > 0 существует бесконечно много членов последовательности, больших, чем а — e, и лишь не более, чем конечное число членов, больших, чем a + e.

  Предел функции . Пусть функция f , принимающая действительные значения, определена в некоторой окрестности точки x , кроме, быть может, само'й точки x . Функция f имеет П. в точке x , если для любой последовательности точек x_n , n = 1, 2,..., x_n ¹ x , стремящейся к точке x , последовательность значений функции f (x_n ) сходится к одному и тому же числу А, которое и называется пределом функции f в точке x , (или при x ® x ) при этом пишется

или

f (x ) ® A при x ® x

  В силу этого определения на П. функций переносятся свойства П. суммы, произведения и частного последовательностей, а также сохранение неравенств при предельном переходе.

  Определение П. функции можно сформулировать и не прибегая к понятию П. последовательности: число А называется пределом функции f в точке x , если для любого числа e > 0 существует такое число d > 0, что для всех точек х ¹ x , удовлетворяющих условию ½х — x ½ < d, x ¹ x , выполняется неравенство ½f (x ) — A½ < e.

  Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция х^a, показательная функция a^x , тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и ctgx и обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция

,

являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x² ), < q < 1, в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо f (x ) = 1 + x² при x ¹ 0. Этот П. не совпадает со значением функции f в нуле: f (0) = 0. Функция же