А. Н. Колмогоров начал изучение нового вопроса теории приближений — задачи о нахождении при фиксированном n такой системы функций j1 ,..., jn , для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами
были бы наименьшими (т. н. задача о поперечнике класса функций). В этом направлении в дальнейшем было выяснено, например, что для ряда важных классов периодических функций наилучшими в указанном смысле системами являются тригонометрические полиномы.
Теория приближений функций является одним из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде вопросов вычислительной математики. С 1968 в США издаётся специализированный журнал «Journal of Approximation Theory».
См. также Приближение функций комплексного переменного .
Лит.:Монографии . Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949; Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960.
Обзоры. Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947, М. — Л., 1948, с. 288—318; Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 295—379; История отечественной математики, т. 3, К., 1968, с. 568—588.
С. А. Теляковский.
Приближение функций комплексного переменного
Приближе'ние фу'нкций ко'мплексного переме'нного, раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. Центральная проблематика относится к приближению функций полиномами и рациональными функциями. Основными являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным полиномам и полиномам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т.п.). Теория приближений тесно связана с др. разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.
Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно которой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного z, может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах (см. Компактность ) этой области посредством полиномов от z. Общая задача о возможности равномерного приближения полиномами ставится так: для каких компактов К в комплексной плоскости любая функция f, непрерывная на К и голоморфная на множестве внутренних точек К, допускает равномерную аппроксимацию на К (с любой степенью точности) посредством полиномов от z. Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта К. Эта теорема для компактов без внутренних точек была доказана М. А. Лаврентьевым (1934), для замкнутых областей — М. В. Келдышем (1945) и в общем случае — С. Н. Мергеляном (1951).
Пусть Еп = En (f, K ) — наилучшее приближение функции f на компакте К посредством полиномов от z степени не выше n (в равномерной метрике). Если К — компакт со связным дополнением и функция f голоморфна на К, то последовательность {Еп } стремится к нулю быстрее некоторой геометрической прогрессии: En < qn , < q = q < 1 (n > N ). Если f непрерывна на К и голоморфна во внутренних точках К, то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как от свойств f на границе К (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрических свойств границы К.
Другие направления исследований — равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций нескольких комплексных переменных.
Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М,, 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И.. Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М. — Л., 1964; Мергелян С. Н., Приближения функций комплексного переменного. в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К,, 1970, с. 112—78.
А. А. Гончар.
Приближённое интегрирование
Приближённое интегри'рование определённых интегралов, раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов .
Пусть y = f (x ) — непрерывная функция на отрезке [a, b ] и интеграл
Если для функции f (x ) известны значения первообразной F (x ) при x = а и х = b, то по формуле Ньютона — Лейбница
I (f ) = F (b ) - F (a )
В противном случае приходится искать др. пути вычисления l . Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I в виде линейной функции некоторого числа значений функции f (x ) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x ), называют выражение вида
Sn = Ak f (xk ),
в котором точки xk , k = 1, 2,..., n, xk Î [a, b ], называют узлами, а коэффициенты Ak — весами.
Для каждой непрерывной функции f (x ) значение I может быть вычислено с помощью сумм Sn с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом W, к которому относят конкретную функцию f (x ), способом задания функции и имеющимися вычислительными средствами. Погрешностью квадратурной формулы называется разность
