(S — минимальное значение исходной суммы квадратов). При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то абсолютная погрешность приближённого равенства x_i » X_j меньше ts_j с вероятностью, близкой к значению интеграла (1). Если случайные ошибки наблюдений d_i подчиняются нормальному распределению, то все отношения (X_j - x_j )/s_j распределены по закону Стьюдента с n - m степенями свободы [точная оценка абсолютной погрешности приближённого равенства производится здесь с помощью интеграла (2) так же, как в случае одного неизвестного]. Кроме того, минимальное значение суммы S в вероятностном смысле не зависит от X₁ , X₂ ,..., X_m и поэтому приближённые значения дисперсий оценок Dx_j » s²_j не зависят от самих оценок X_j .

  Один из наиболее типичных случаев применения Н. к. м. — «выравнивание» таких результатов наблюдений Y_i , для которых в уравнениях (3) a_ij = a_j (t_i ), где a_j (t ) — известные функции некоторого параметра t (если t — время, то t₁ , t₂ ,... — те моменты времени, в которые производились наблюдения). Особенно часто встречается в приложениях случай так называемой параболической интерполяции, когда a_j (t ) — многочлены [например, a₁ (t ) = 1, a₂ (t ) = t , a₃ (t ) = t² ,... и т.д.]; если t₂ — t₁ = t₃ — t₂ =... = t_n — t_n-1 , a наблюдения равноточные, то для вычисления оценок X_j можно воспользоваться таблицами ортогональных многочленов, имеющимися во многих руководствах по современной вычислительной математике. Другой важный для приложения случай — так называемая гармоническая интерполяция, когда в качестве a_j (t ) выбирают тригонометрические функции [например, a_j (t ) = cos (j - 1) t , j = 1, 2,..., m ].

  Пример. Для оценки точности одного из методов химического анализа этим методом определялась концентрация CaO в десяти эталонных пробах заранее известного состава. Результаты равноточных наблюдений указаны в таблице (i — номер эксперимента, t_i — истинная концентрация CaO, T_i — концентрация CaO. определённая в результате химического анализа, Y_i = T_i - t_i — ошибка химического анализа):

Если результаты химического анализа не имеют систематических ошибок, то Ey_i = 0. Если же такие ошибки имеются, то в первом приближении их можно представить в виде: Ey_i = a + bt_i (a называется постоянной ошибкой, а bt_i — методической ошибкой) или, что то же самое,

где

  Для отыскания оценок a и b достаточно оценить коэффициенты

Условные уравнения в данном случае имеют вид:

поэтому a_i1 = 1, a_i2 = t_i - t (согласно предположению о равноточности наблюдений, все p_i = 1). Так как

то система нормальных уравнений записывается особенно просто:

[a₁ a₁ ] X₁ = [Ya₁ ]; [a₂ a₂ ] X₂ = [Ya₂ ],

где

  Дисперсии компонент решения этой системы суть

где k — неизвестная дисперсия на единицу веса (в данном случае k — дисперсия любой из величин Y_i ). Так как в этом примере компоненты решения принимают значения X₁ = -0,35 и X₂ = -0,00524, то

  Dx₁ » s₁² = 0,00427,

  Dx₂ » s₂² = 0,0000272,

  s₁ = 0,065, s₂ = 0,00522.

  Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению, то отношения |X_j – x_j l/s_j (j = 1, 2) распределены по закону Стьюдента. В частности, если результаты наблюдений лишены систематических ошибок, то x₁ = x₂ = 0 и, значит, закону Стьюдента должны подчиняться отношения |X₁ |/s₁ и |X₂ |/s₂ . С помощью таблиц распределения Стьюдента с n – m = 8 степенями свободы можно убедиться, что если действительно x₁ = x₂ = 0, то с вероятностью 0,999 каждое из этих отношений не должно превосходить 5,04 и с вероятностью 0,95 не должно превосходить 2,31. В данном случае |X₁ |/s₁ = 5,38 > 5,04, поэтому гипотезу отсутствия систематических ошибок целесообразно отвергнуть; в то же время следует признать, что гипотеза об отсутствии методической ошибки (x₂ = 0) не противоречит результатам наблюдений, так как |X₂ |/s₂ = 1,004 < 2,31. Т. о., можно заключить, что для определения t по результату наблюдения Т целесообразно пользоваться приближённой формулой t = Т + 0,35.

  Во многих практически важных случаях (и в частности, при оценке сложных нелинейных связей) количество неизвестных параметров бывает весьма большим и поэтому реализация Н. к. м. оказывается эффективной лишь при использовании современной вычислительной техники.

  Лит.: Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; Колмогоров А. Н., К обоснованию метода наименьших квадратов, «Успехи математических наук», 1946, т. 1, в. 1; Линник Ю. В., Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений, 2 изд., М., 1962; Helmert F. R., Die Ausgieichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate..., 2 Aufl., Lpz., 1907.

  Л. Н. Большев.

На'ин-Си'нга, горный хребет на Ю.-З. Тибетского нагорья, в Китае; см. Алинг-Гангри .

Наи'ри, название стран, расположенных к С. от Ассирии, в бассейнах Урмийского и Ванского озера. Упоминается в ассирийских надписях начиная со времени царя Тукультининурты I (около 13 в. до н. э.) до Саргона II (722—705). Значительной части Н. соответствует территория государства Урарту.