б) Н. д. п. в форме Мопертюи — Лагранжа устанавливает, что среди всех кинематически возможных перемещений системы из одной конфигурации в близкую к ней другую, совершаемых при сохранении одной и той же величины полной энергии системы, действительным является то, для которого действие по Лагранжу W будет наименьшим. Математическое выражение Н. д. п. в этом случае имеет вид DW = 0, где D — символ полной вариации (в отличие от принципа Гамильтона — Остроградского, здесь варьируются не только координаты и скорости, но и время перемещения системы из одной конфигурации в другую). Н. д. п. в этом случае справедлив только для консервативных и притом голономных систем, в то время как в первом случае Н. д. п. является более общим и, в частности, может быть распространён на неконсервативные системы. Н. д. п. пользуются для составления уравнений движения механических систем и для исследования общих свойств этих движений. При соответствующем обобщении понятий Н. д. п. находит приложения в механике непрерывной среды, в электродинамике, квантовой механике и др.

  Лит . см. при ст. Вариационные принципы механики .

  С. М. Тарг.

Наименьшего принуждения принцип

Наиме'ньшего принужде'ния при'нцип, то же, что Гаусса принцип .

Наименьшее общее кратное

Наиме'ньшее о'бщее кра'тное двух или нескольких натуральных чисел — наименьшее, делящееся на каждое из них, положительное число. Например, Н. о. к. чисел 2 и 3 есть 6, чисел 6, 8, 9, 15 и 20 есть 360. Н. о. к. пользуются при сложении и вычитании дробей: наименьшим общим знаменателем двух или нескольких дробей является Н. о. к. их знаменателей. Если известны разложения заданных чисел на простые множители, то для получения Н. о. к. этих чисел нужно составить произведение всех множителей, взяв каждый наибольшее число раз, какое он встречается. Так, 6 = 2×3, 8 = 2×2×2, 9 = 3×3, 15 = 3×5 и 20 = 2×2×5; поэтому Н. о. к. 6, 8, 9, 15 и 20 есть 2×2×2×3×3×5 = 360. Понятие Н. о. к. применимо не только к числам. Так, например, Н. о. к. двух или нескольких многочленов есть многочлен наинизшей степени, делящийся на каждый из данных. См. также Наибольший общий делитель .

Наименьшей кривизны принцип

Наиме'ньшей кривизны' при'нцип, то же, что Герца принцип .

Наименьших квадратов метод

Наиме'ньших квадра'тов ме'тод, один из методов ошибок теории для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Н. к. м. применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при наблюдений обработке . Н. к. м. предложен К. Гауссом (1794—95) и А. Лежандром (1805—06). Первоначально Н. к. м. использовался для обработки результатов астрономических и геодезических наблюдений. Строгое математическое обоснование и установление границ содержательной применимости Н. к. м. даны А. А. Марковым (старшим) и А. Н. Колмогоровым . Ныне Н. к. м. представляет собой один из важнейших разделов математической статистики и широко используется для статистических выводов в различных областях науки и техники.

  Сущность обоснования Н. к. м. (по Гауссу) заключается в допущении, что «убыток» от замены точного (неизвестного) значения физической величины и её приближённым значением X , вычисленным по результатам наблюдений, пропорционален квадрату ошибки: (X - m)² . В этих условиях оптимальной оценкой естественно признать такую лишённую систематической ошибки величину X , для которой среднее значение «убытка» минимально. Именно это требование и составляет основу Н. к. м. В общем случае отыскание оптимальной в смысле Н. к. м. оценки Х — задача весьма сложная, поэтому практически эту задачу сужают и в качестве Х выбирают линейную функцию от результатов наблюдений, лишённую систематической ошибки, и такую, для которой среднее значение «убытка» минимально в классе всех линейных функций. Если случайные ошибки наблюдений подчиняются нормальному распределению и оцениваемая величина m зависит от средних значений результатов наблюдений линейно (случай, весьма часто встречающийся в приложениях Н. к. м.), то решение этой задачи будет одновременно являться и решением общей задачи. При этом оптимальная оценка Х также подчиняется нормальному распределению со средним значением m и, следовательно, плотность вероятности случайной величины Х

при х = Х достигает максимума в точке m = Х (это свойство и выражает точное содержание распространённого в теории ошибок утверждения «оценка X , вычисленная согласно Н. к. м., — наиболее вероятное значение неизвестного параметра m»).

  Случай одного неизвестного. Пусть для оценки значения неизвестной величины m произведено n независимых наблюдений, давших результаты Y₁ , Y₂ ,..., Y_n , т. е. Y₁ = m + d₁ , Y₂ = m + d₂ ,..., Y_n = m + d_n , где d₁ , d₂ ,..., d_n — случайные ошибки (по определению, принятому в классической теории ошибок, случайные ошибки — независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием: Е d_i = 0; если же E d_i ¹ 0, то Е d_i , называются систематическими ошибками). Согласно Н. к. м., в качестве оценки величины m принимают такое X, для которого будет наименьшей сумма квадратов (отсюда и само название метода):

  где p_i = k/ s_i² и s_i² = D d_i = E d_i²

(коэффициент k > 0 можно выбирать произвольно). Величину p_i называют весом, a s_i — квадратичным отклонением измерения с номером i . В частности, если все измерения равноточны, то s₁ = s₂ =... = s_n , и в этом случае можно положить p₁ = p₂ =... = p_n = 1; если же каждое Y_i , — арифметическое среднее из n_i , равноточных измерений, то полагают p_i = n_i .

  Сумма S (X ) будет наименьшей, если в качестве Х выбрать взвешенное среднее:

Оценка

 величины m лишена систематической ошибки, имеет вес Р и дисперсию

В частности, если все измерения равноточны, то Y — арифметическое среднее результатов измерений:

  При некоторых общих предположениях можно показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то распределение оценки

 мало отличается от нормального с математическим ожиданием m и дисперсией k/P . В этом случае абсолютная погрешность приближённого равенства