меньше

с вероятностью, близкой к значению интеграла

[напр., I (1,96) = 0,950; I (2,58) = 0,990; I (3,00) = 0,997].

  Если веса измерений p_i заданы, а множитель k до наблюдений остаётся неопределённым, то этот множитель и дисперсия оценки

 могут быть приближённо оценены по формулам:

и

(обе оценки лишены систематических ошибок).

  В том практически важном случае, когда ошибки d_i подчиняются нормальному распределению, можно найти точное значение вероятности, с которой абсолютная погрешность приближённого равенства

окажется меньше ts (t — произвольное положительное число). Эту вероятность, как функцию от t , называют функцией распределения Стьюдента с n - 1 степенями свободы и вычисляют по формуле

где постоянная C_n-1 выбрана таким образом, чтобы выполнялось условие: I_n-1 (¥) = 1. При больших n формулу (2) можно заменить формулой (1). Однако применение формулы (1) при небольших n привело бы к грубым ошибкам. Так, например, согласно (1), значению I = 0,99 соответствует t = 2,58; истинные значения t , определяемые при малых n как решения соответствующих уравнений l_n-1 (t ) = 0,99, приведены в таблице:

n	2	3	4	5	10	20	30
t	63,66	9,92	5,84	4,60	3,25	2,86	2,76

Пример. Для определения массы некоторого тела произведено 10 независимых равноточных взвешиваний, давших результаты Y_i (в г ):

Yi	18,41	18,42	18,43	18,44	18,45	18,46
ni	1	3	3	1	1	1

(здесь n_i — число случаев, в которых наблюдался вес Y_i , причём n = Sn_i , = 10). Так как все взвешивания равноточные, то следует положить p_i = n_i и в качестве оценки для неизвестного веса m, выбрать величину

Задавая, например, I₉ = 0,95, по таблицам распределения Стьюдента с девятью степенями свободы можно найти, что t = 2,262, и поэтому в качестве предельной абсолютной погрешности приближённого равенства m » 18,431 следует принять величину

  Т. о. 18,420 < m < 18,442.

  Случай нескольких неизвестных (линейные связи). Пусть n результатов измерений Y₁ , Y₂ ,..., Y_n связаны с m неизвестными величинами x₁ , x₂ ,..., х_m (m < n ) независимыми линейными отношениями

где a_ij — известные коэффициенты, а d_i — независимые случайные ошибки измерений. Требуется оценить неизвестные величины x_j (эту задачу можно рассматривать как обобщение предыдущей, в которой m = x₁ и m = a_i1 = 1; i = 1,2,..., n ).

  Так как Е d_i = 0, то средние значения результатов измерений y_i , = Ey_i . связаны с неизвестными величинами x₁ , x₂ ,..., х_m линейными уравнениями (линейные связи):

  Следовательно, искомые величины x_j представляют собой решение системы (4), уравнения которой предполагаются совместными. Точные значения измеряемых величин y_i и случайные ошибки d_i обычно неизвестны, поэтому вместо систем (3) и (4) принято записывать так называемые условные уравнения

  Согласно Н. к. м., качестве оценок для неизвестных x_j применяют такие величины X_j , для которых сумма квадратов отклонений

будет наименьшей (как и в предыдущем случае, p_i — вес измерения Y_i , — величина, обратно пропорциональная дисперсии случайной ошибки d_i ). Условные уравнения, как правило, несовместны, т. е. при любых значениях X_j разности

не могут, вообще говоря, все обратиться в нуль, и в этом случае

также не может обратиться в нуль. Н. к. м. предписывает в качестве оценок выбрать такие значения X_j , которые минимизируют сумму S . В тех исключительных случаях, когда условные уравнения совместны и, значит, обладают решением, это решение совпадает с оценками, полученными согласно Н. к. м.

  Сумма квадратов S представляет собой квадратичный многочлен относительно переменных X_j ; этот многочлен достигает минимума при таких значениях X₁ , X₂ ,..., Х_m , при которых обращаются в нуль все первые частные производные:

Отсюда следует, что оценки X_j , полученные согласно Н. к. м., должны удовлетворять системе так называемых нормальных уравнений, которая в обозначениях, предложенных Гауссом, имеет вид:

где

  Оценки X_j , получающиеся в результате решения системы нормальных уравнений, лишены систематических ошибок (Ex_j = x_j ); дисперсии Dx_j ; величин X_j равны kd_jj /d , где d — определитель системы (5), а d_jj — минор, соответствующий диагональному элементу [ра_j a_j ] (иными словами, d_jj /d — вес оценки X_j ). Если множитель пропорциональности k (k называется дисперсией на единицу веса) заранее неизвестен, то для его оценки, а также для оценки дисперсии Dx_j служат формулы:

  k » S/ (n - m ) и Dx_j » s²_j = Sd_jj /d (n - m )