Н. б. п. получил широкое распространение в современных международных отношениях. В принятых в 1964 на Женевской конференции ООН по торговле и развитию «Общих принципах, определяющих международные торговые отношения и торговую политику, способствующие развитию» указывается, что международная торговля должна быть взаимовыгодной и вестись на основе режима наибольшего благоприятствования и в рамках этой торговли не должны предприниматься действия, наносящие ущерб торговым интересам др. стран.

  Н. б. п. положен в основу торговых договоров социалистических государств как между собой, так и с капиталистическими государствами. СССР на 1 января 1973 имел торговые договоры, предусматривающие взаимное предоставление наибольшего благоприятствования, более чем с 80 государствами. Капиталистические государства нередко нарушают Н. б. п., дискриминируют социалистические государства, отказывая им в предоставлении соответствующих преимуществ, привилегий и льгот.

  Е. К. Медведев.

Наибо'льшее и наиме'ньшее значе'ния фу'нкции, понятия математического анализа. Значение, принимаемое функцией в некоторой точке множества, на котором эта функция задана, называется наибольшим (наименьшим) на этом множестве, если ни в какой другой точке множества функция не имеет большего (меньшего) значения. Н. и н. з. ф. по сравнению с её значениями во всех достаточно близких точках называются экстремумами (соответственно максимумами и минимумами) функции. Н. и н. з. ф., заданной на отрезке, могут достигаться либо в точках, где производная равна нулю, либо в точках, где она не существует, либо на концах отрезка. Непрерывная функция, заданная на отрезке, обязательно достигает на нём наибольшего и наименьшего значений; если же непрерывную функцию рассматривать на интервале (т. е. отрезке с исключенными концами), то среди её значений на этом интервале может не оказаться наибольшего или наименьшего. Например, функция у = x , заданная на отрезке [0; 1], достигает наибольшего и наименьшего значений соответственно при x = 1 и x = 0 (т. е. на концах отрезка); если же рассматривать эту функцию на интервале (0; 1), то среди её значений на этом интервале нет ни наибольшего, ни наименьшего, так как для каждого x всегда найдётся точка этого интервала, лежащая правее (левее) x , и такая, что значение функции в этой точке будет больше (соответственно меньше), чем в точке x . Аналогичные утверждения справедливы для функций многих переменных. См. также Экстремум .

Наибо'льший о'бщий дели'тель двух или нескольких натуральных чисел — наибольшее из чисел, на которые делится каждое из данных чисел. Например, Н. о. д. 45 и 72 есть 9, Н. о. д. 60, 84, 96 и 120 есть 12. Н. о. д. пользуются при сокращении дробей: наибольшее число, на которое могут быть сокращены числитель и знаменатель дроби, — их Н. о. д. Если известны разложения заданных чисел на простые множители, то для получения Н. о. д. этих чисел нужно составить произведение тех множителей, которые входят одновременно во все разложения, взяв каждый наименьшее число раз, какое он встречается. Так, 60 = 2×2×3×5, 72 = 2×2×2×3×3 и 252 = 2×2×3×3×7; поэтому Н. о. д. 60, 72 и 252 есть 2×2×З = 12. Общим приёмом отыскания Н. о. д. двух чисел является способ последовательного деления, указанный ещё в 3 в. до н. э. Евклидом (Евклида алгоритм ). Он заключается в том, что большее из двух данных чисел делят на меньшее, затем меньшее — на остаток от первого деления, остаток от первого деления — на остаток от второго деления и т.д., до тех пор, пока не дойдут до остатка, равного нулю. Последний, отличный от нуля, остаток и будет Н. о. д. данных чисел. Например, чтобы найти Н. о. д. 3542 и 2464, выполняют последовательные деления: 3542 = 2464×1 + 1078, 2464 = 1078×2 + 308, 1078 = 308×3 + 154, 308 = 154×2. В остатке при последнем делении — нуль; следовательно, Н. о. д. 3542 и 2464 равен предпоследнему остатку, то есть 154. Если Н. о. д. двух чисел равен единице, то эти числа называют взаимно простыми. Н. о. д. d двух чисел а и b и наименьшее общее кратноеm этих чисел связаны соотношением dm = ab .

  Понятие Н. о. д. применимо не только к числам. Так, например, Н. о. д. двух или нескольких многочленов есть многочлен наивысшей степени, на который делится каждый из данных. Для нахождения Н. о. д. многочленов применяются приёмы, совершенно аналогичные указанным выше для чисел (в частности, алгоритм Евклида).

На'игрыш, народная инструментальная мелодия, большей частью танцевальная; порой и мелодия с сопровождением (Н. гармоники).

Наилу'чшее приближе'ние, важное понятие теории приближения функций. Пусть f (x ) — произвольная непрерывная функция, заданная на некотором отрезке [а, b ], a j₁ (x ), j₂ (x ),..., j_n (x ) — фиксированная система непрерывных функций на том же отрезке. Тогда максимум выражения:

  |f (x ) — a₁ j₁ (x ) - a₂ j₂ (x ) -... - a_n j_n (x )|     (*)

на отрезке [а, b ] называется уклонением функции f (x ) от полинома

  P_n (x ) = a₁ j₁ (x ) + a₂ j₂ (x ) +... + a_n j_n (x ),

а минимум уклонения для всевозможных полиномов P_n (x ) (т. е. при всевозможных наборах коэффициентов a₁ , a₂ ,..., a_n ) — наилучшим приближением функции f (x ) посредством системы j₁ (x ), j₂ (x ),..., j_n (x ); Н. п. обозначают через E_n (f , j). Таким образом, Н. п. является минимумом максимума или, как говорят, минимаксом.

Полином P*_n (x , f ), для которого уклонение от функции f (x ) равно Н. п. (такой полином всегда существует), называется полиномом, наименее уклоняющимся от функции f (x ) (на отрезке [а , b ]).

  Понятия Н. п. и полинома, наименее уклоняющегося от функции f (x ), были впервые введены П. Л. Чебышевым (1854) в связи с исследованиями по теории механизмов. Можно также рассматривать Н. п., когда под уклонением функции f (x ) от полинома P_n (x ) понимается не максимум выражения (*), а, например,

См. Приближение и интерполирование функций .

Наиме'ньшего де'йствия при'нцип, один из вариационных принципов механики , согласно которому для данного класса сравниваемых друг с другом движений механической системы действительным является то, для которого физическая величина, называемая действием , имеет минимум (точнее, экстремум). Обычно Н. д. п. применяется в одной из двух форм.

  а) Н. д. п. в форме Гамильтона — Остроградского устанавливает, что среди всех кинематически возможных перемещений системы из одной конфигурации в другую (близкую к первой), совершаемых за один и тот же промежуток времени, действительным является то, для которого действие по Гамильтону S будет наименьшим. Математическое выражение Н. д. п. имеет в этом случае вид: dS = 0, где d — символ неполной (изохронной) вариации.