Приведённое рассмотрение процесса деления, основанное на сравнении свойств ядра со свойствами жидкой капли, следует дополнить следующим замечанием. Хотя деформация, которая приводит к делению, связана с большей эффективной массой и более низкими квантовыми частотами, чем все остальные ядерные колебания высшего порядка, и, следовательно, в наибольшей степени подходит для классического описания, ей свойствен ряд специфических квантовомеханических черт. В частности, в определении критической энергии имеется принципиальная неточность, которая оказывается порядка энергии нулевых колебаний ℏω²/2, что, впрочем, как мы видели выше, составляет лишь сравнительно малую величину. Более важной с точки зрения стабильности ядра является возможность квантовомеханического туннельного эффекта, благодаря которому ядро может делиться даже в основном состоянии, проникая через область конфигурационного пространства, в которой по классическим представлениям кинетическая энергия должна быть отрицательной.

Точное решение задачи о делении тяжёлого ядра в основном состоянии, очевидно, является очень сложной математической проблемой. Используя естественное обобщение известной теории альфа-распада, вероятность процесса деления в единицу времени можно в принципе вычислять по формуле

λ

_𝑓

=

Γ_𝑓

ℏ

=

5ω_𝑓

2π

exp

⎧

⎨

⎩

-2

𝑃₂

∫

𝑃₁

⎡

⎢

⎣

2(𝑉-𝐸)

∑

𝑖

𝑚

_𝑖

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑎

𝑑𝑥_𝑖

⎞2

⎟

⎠

⎤1/2

⎥

⎦

𝑑𝑎

ℏ

⎫

⎬

⎭

.

(28)

Множитель 5 учитывает степень вырождения колебаний, приводящих к нестабильности. Квант энергии, характеризующий эти колебания, равен согласно (26) ℏω ∼ 0,8 Мэв. Интеграл в экспоненте для случая одной частицы сводится к коэффициенту проницаемости Гамова. В нашей проблеме интеграл подобным же образом берётся в конфигурационном пространстве от точки устойчивого равновесия 𝑃₁ по пути, проходящему через седловидную точку (как указано пунктирной линией на рис. 3) и спускающемуся наиболее быстро к точке 𝑃₂, в которой классическая кинетическая энергия 𝐸-𝑉 снова равна нулю. Вдоль этого пути можно выразить координаты 𝑥_𝑖 каждой элементарной частицы через некоторый параметр α. Так как интеграл не зависит от того, каким образом выбран этот параметр, можно для удобства выбрать а равным расстоянию между центрами тяжести возникающих ядер. Выполнить точный расчёт интеграла, входящего в (28), на основе модели жидкой капли представляется весьма сложным; поэтому мы оценим результат приближённо, приняв, что каждая элементарная частица проходит по прямой расстояние ½α вправо или влево в зависимости от того, с каким из двух возникающих ядер она связана. Кроме того, мы примем разность 𝑉-𝐸 по порядку величины равной критической энергии деления 𝐸_𝑓. При этом для показателя экспоненты в (28) получаем приближённое выражение

(2𝑀𝐸

_𝑓

)

^1/2

⋅

α

ℏ

.

(29)

Полагая 𝑀=239⋅1,66⋅10^-24, 𝐹_𝑓∼6 Мэв = 10^-5 эрг и считая расстояние между ядрами величиной, значение которой находится в интервале между значениями диаметра и радиуса ядра, т. е., например, порядка 1,3⋅10^-12 см, мы находим отсюда среднее время жизни по отношению к делению в основном состоянии

1

λ_𝑓

=

10

^-21

exp

⎡

⎢

⎣

(2⋅4⋅10

^-22

⋅10

^-5

)

^1/2

⋅

1,3⋅10^-12

10^-27

⎤

⎥

⎦

∼

∼

10

³⁰

сек

≈

10

²²

лет.

(30)

Видно, что эта оценка времени жизни не только многократно превосходит промежутки времени порядка 10^-15, характеризующие скорость наблюдающихся на опыте процессов деления, вызываемых нейтронами, но она велика даже по сравнению с временем жизни урана и тория по отношению к альфа-распаду. Такая высокая степень стабильности тяжёлых ядер по отношению к делению объясняется, как легко видеть, большими значениями масс частиц. Это обстоятельство уже отмечалось в цитированной статье Мейтнер и Фриша, где подчёркивались наиболее существенные характерные черты эффекта деления.

III. РАСПАД СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ КАК МОНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ РЕАКЦИЯ

Чтобы определить вероятность деления, рассмотрим микроканонический ансамбль ядер, каждое из которых обладает энергией возбуждения, заключённой между 𝐸 и 𝐸+𝑑𝐸. Число ядер выберем точно равным числу уровней ρ(𝐸)𝑑𝐸 в этом интервале энергий, так что в каждом состоянии будет находиться одно ядро. Число ядер, которые испытают деление в единицу времени, при этом равно ρ(𝐸)𝑑𝐸Γ_𝑓/ℏ в соответствии с нашим определением величины Γ_𝑓. Это число будет равно числу ядер в переходном состоянии, проникающих наружу через барьер деления в единицу времени ¹². На единицу длины, измеряемой вдоль пути, который ведёт к делению, будет (𝑑𝑝/ℎ)ρ*(𝐸-𝐸_𝑓-𝐾)𝑑𝐸 квантовых состояний микроканонического ансамбля, для которых импульс и кинетическая энергия деформации имеют значения, лежащие соответственно в интервалах 𝑑𝑝 и 𝑑𝐾=𝑣𝑑𝑝. Здесь ρ* — плотность тех уровней составного ядра в переходном состоянии, которые возникают вследствие возбуждения всех остальных степеней свободы, кроме координаты вдоль пути, ведущего к делению. В начальный момент у нас имеется одно ядро в каждом из рассматриваемых квантовых состояний, и, следовательно, число делений в единицу времени равно

¹² Общее обсуждение идей, связанных с понятием переходного состояния, можно найти в статье Вигнера (Trans. Faraday Soc., 1938, 34. pt. 1, 29).

𝑑𝐸

∫

𝑣𝑑𝑝

ℎ

ρ*

(𝐸-𝐸

_𝑓

-𝐾)

=

𝑑𝐸

𝑁*

ℎ

,

(31)

где 𝑁* — число уровней в переходном состоянии при заданной степени возбуждения. Сравнение с нашим исходным выражением для числа делений даёт

Γ

_𝑓

𝑁*

2πρ(𝐸)

=

𝑑

2π

𝑁*

.

(32)

Эта формула выражает ширину по отношению к делению через плотность уровней составного ядра или через расстояние между уровнями 𝑑.

Приведённый здесь вывод ширины уровней справедлив лишь в том случае, если 𝑁* достаточно велико по сравнению с единицей, т. е. если ширина по отношению к делению сравнима или велика по сравнению с расстоянием между уровнями. Это соответствует условиям, при которых возможно рассмотрение деформации, ведущей к делению, на основании принципа соответствия. С другой стороны, когда энергия возбуждения лишь немного превосходит критическую энергию 𝐸_𝑓 или опускается ниже её, существенными оказываются квантовомеханические барьерные эффекты. Конечно, вероятность деления падает очень быстро с уменьшением энергии возбуждения ниже этого предела, где математическое выражение для скорости реакции в итоге переходит в формулу (28) для вероятности подбарьерного проникновения, дающую, как мы видели, ничтожно малую вероятность деления для урана.