§ 4. Вычисление влияния пробных тел на поле
Мы исследовали выше те физические требования, какие должны предъявляться к свойствам пробных тел. Теперь мы перейдём к более подробному рассмотрению тех электромагнитных действий пробных тел, которые сопровождают измерения поля; действия эти весьма существенны для решения вопроса об измеримости. Согласно сказанному выше мы будем при этом рассматривать каждое пробное тело как непрерывное распределение зарядов, равномерно заполняющее пространственную область, по которой производится усреднение; при измерении импульса это распределение зарядов испытывает параллельное перемещение. Порождаемые при этом электромагнитные поля будут нами вычисляться сперва на основе классической электродинамики, и лишь затем будут рассмотрены вносимые квантом действия ограничения применимости такого способа расчёта.
Рассмотрим две пространственно-временны́е области I и II, имеющие объёмы 𝑉I и 𝑉II и протяженности во времени 𝑇I и 𝑇II. Поставим вопрос: каково будет электромагнитное поле в точке (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, 𝑡2) области II, возникающее в результате измерения значения 𝕰𝑥 усреднённого по области I. Мы будем считать, что в объёме 𝑉I первоначально находятся два распределения электрических зарядов с постоянными плотностями +ρI и -ρI. За время от 𝑡'I до 𝑡'I+Δ𝑡I первое распределение зарядов испытывает неравномерное параллельное перемещение в направлении оси 𝑥 на отрезок 𝐷(I)𝑥; в течение времени от 𝑡'I+Δ𝑡I до 𝑡''I оно остаётся в покое в смещенном положении; наконец, за время от 𝑡''I до 𝑡''I+Δ𝑡I оно вновь передвигается неравномерно в направлении оси 𝑥 и возвращается при этом в свое первоначальное положение, в котором заряды нейтрализуются. В соответствии с требованием, поставленным в предыдущем параграфе, мы примем далее, что Δ𝑡I весьма мало́ по сравнению с 𝑇I = 𝑡''I - 𝑡'I и что 𝐷(I)𝑥 мало́ не только по сравнению с линейными размерами объёма 𝑉I (по которому производится усреднение), но и по сравнению с 𝑐Δ𝑡I.
Таким образом, в случае исчезающе малых Δ𝑡I источники искомого поля могут быть выражены через некоторую поляризацию и некоторую плотность тока. Поляризация существует в области I в промежутке времени от 𝑡'I до 𝑡''II она направлена по оси 𝑥 и имеет постоянную плотность 𝑅(I)𝑥 = 𝐷(I)𝑥. Плотность тока существует только в моменты времени, примыкающие к 𝑡'I и 𝑡''I и может быть записана в виде
𝐽
(I)
𝑥
=
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
[
δ(𝑡-𝑡
'
I
)-
δ(𝑡-𝑡
''
I
)],
(36)
где используется дельта-функция, определяемая формулой (3). Используя дельта-функцию, можно также представить значение поляризации для любого момента времени 𝑡 в виде
𝑃
(I)
𝑥
=
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
𝑡''I
∫
t'
δ(𝑡-𝑡
1
)
𝑑𝑡
1
.
(37)
Эти источники порождают в пространственно-временно́й точке (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, 𝑡2) поле, компоненты которого могут быть вычислены по известным формулам
𝐸
(I)
𝑥
=-
∂φ(I)
∂𝑥2
-
1
𝑐
∂ψ
(I)
𝑥
∂𝑡
2
;
𝐸
(I)
𝑦
=-
∂φ(I)
∂𝑦2
;
𝐸
(I)
𝑧
=-
∂φ(I)
∂𝑧2
,
𝐻
(I)
𝑥
=0;
𝐻
(I)
𝑦
=
∂ψ
(I)
𝑥
∂𝑧
2
;
𝐻
(I)
𝑧
=-
∂ψ
(I)
𝑥
∂𝑦
2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(38)
Здесь мы обозначили компоненты поля латинскими буквами, чтобы отличить это поле от того, которое подлежит измерению. В формуле (38) величина φ(I) обозначает запаздывающий скалярный потенциал
∫
𝑉I
⎡
⎢
⎢
⎣
𝑃
(I)
𝑥
⎧
⎩
𝑡
2
-
𝑟
𝑐
⎫
⎭
⎤
⎥
⎥
⎦
φ
(I)
=
∂
𝑑𝑣
1
,
∂𝑥
2
𝑝
(39)
а ψ(I)𝑥 — компоненту запаздывающего векторного потенциала
∫
𝑉I
𝐼
(I)
𝑥
⎧
⎩
𝑡
2
-
𝑟
⎫
⎭
ψ
(I)
𝑥
=
1
𝑐
𝑑𝑣
1
,
𝑐
𝑟
(40)
причём 𝑟 есть расстояние между пространственными точками (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) и (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). Выражение (36) может быть также написано в виде
𝐽
(I)
𝑥
=-
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
𝑡
''
I
∫
𝑡
'
I
∂
∂𝑡1
∂(𝑡-𝑡
1
)
𝑑𝑡
1
.
(41)
На основании (37) и (41) мы можем получаемые из (38), (39) и (40) выражения для компонент поля представить в виде
𝐸
(I)
𝑥
=
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
𝐴
(12)
𝑥𝑥
;
𝐸
(I)
𝑦
=
ρ
I
