Институт теоретической физики
Копенгагенского университета
1950
73 ИЗМЕРЕНИЕ ПОЛЯ И ЗАРЯДА В КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ *
(Совместно с Л. Розенфельдом)
*Field and Charge Measurments in Quantum Electrodynamics (With L. Rosenfeld). Phys. Rev., 1950, 78, 794-798.
В работе дан обзор проблемы измеримости в квантовой электродинамике и показано, что в принципе можно с помощью идеализированных измерительных устройств достичь полного согласия с интерпретацией формализма в отношении определения полевых и зарядовых величин.
ВВЕДЕНИЕ
Недавний важный вклад Томонаги, Швингера и других 1 в развитие квантовой электродинамики показал, что проблема взаимодействия между заряженными частицами и электромагнитными полями может трактоваться таким образом, что на каждом этапе удовлетворяются требования релятивистской ковариантности. В этой формулировке существенно используется такое представление компонент электромагнитного поля, с одной стороны, и величин, характеризующих заряженные частицы, с другой, которое соответствует исчезающе малому взаимодействию между полем и частицами. Взаимодействие вводится затем посредством приближённой процедуры, основанной на разложении в ряд по степеням безразмерной константы 𝑒²/ℎ𝑐. В отношении интерпретации формализма этот метод имеет то преимущество, что он ясно подчёркивает дуальный аспект электродинамики. В самом деле, однозначное определение электромагнитных полевых величин основано только на рассмотрении импульсов, сообщаемых соответствующим пробным телам, несущим заряды или токи, в то время как распределение зарядов-токов, связанное с частицами, в конечном счёте определяется полями, которые порождаются этими распределениями.
1 S. Tomonaga. Progr. Theor. Phys., 1946, 1, 27; Phys. Rev., 1948, 74, 224; J. Schwinger. Phys. Rev., 1948, 74, 1439; 1949, 75, 651; 1949, 75, 1912; 1949, 76, 790; F. Daуsоn. Phys. Rev., 1949, 75, 486; 1949, 75, 1736; R. Feуnman. Phys. Rev., 1949, 76, 749; 1949, 76, 769.
Именно с этой точки зрения проблема измеримости полевых величин обсуждалась авторами в предыдущей работе 2. Аналогичное исследование измеримости плотности электрического заряда также было предпринято, но вследствие различных обстоятельств публикация его задержалась 3. Недавно, когда были подведены итоги, оказалось возможным более общее и исчерпывающее рассмотрение при использовании новейшего развития формулировки квантовой электродинамики 4. Поскольку это рассмотрение может быть полезным в обсуждении современной ситуации в атомной физике, мы здесь приведём краткий обзор выводов современной электронной теории, относящихся к измерению плотности заряда-тока. С этой целью удобно начать с резюме нашего предыдущего исследования измеримости полевых величин 5.
2 N. Bohr, L. Rosenfeld. Kgl. Danske Vid. Sels. Math.-Fys. Medd., 1933, 12, № 8 (статья 39). В дальнейшем цитируется как I.
3 Отчёт о предварительных результатах исследования, которые обсуждались на нескольких физических конференциях в 1938 г., недавно включён в монографию: A. Pais. Developments in the Theory of the Electron. (Princeton University. Press, Princeton, New Jersey, 1948).
4 Внимание авторов к использованию этой формулировки для обсуждения проблемы измеримости было привлечено в стимулирующей переписке с проф. B. Паули.
5 Более детальный отчёт об этом исследовании с более полными ссылками на литературу появится позже в «The Communications of the Copenhagen Academy».
1. Измерения электромагнитных полей
Классическая электродинамика оперирует с идеализацией компонент поля 𝑓μν(𝑥), определённых в каждой точке (𝑥) пространства-времени. Хотя в квантовой теории поля эти понятия формально сохраняются, важно понять, что только средние значения таких компонент поля по конечной области пространства-времени 𝑅 типа
𝐹
μν
(𝑅)
=
1
𝑅
∫
𝑅
𝑓
μν
(𝑥)
𝑑
4
𝑥
(1)
имеют вполне определённый смысл (I, § 2). В начальном приближении, в котором пренебрегается всеми эффектами, включающими 𝑒2/ℏ𝑐, эти средние подчиняются перестановочным соотношениям общего вида
[𝐹
μν
(𝑅),𝐹
ϰλ
(𝑅')]
=
𝑖ℏ𝑐
[
𝐴
μν,ϰλ
(𝑅,𝑅')
-
𝐴
ϰλ,μν
(𝑅',𝑅)
],
(2)
где выражения типа 𝐴μν,ϰλ(𝑅,𝑅'), определённые как интегралы по пространственно-временны́м областям 𝑅 и 𝑅' от некоторых сингулярных функций, имеют конечные значения, зависящие от формы и относительного расположения областей 𝑅 и 𝑅'.
Измерение полевой средней 𝐹μν(𝑅) требует контроля за полным импульсом, передаваемым внутри пространственно-временно́й области 𝑅 системе подвижных пробных тел с соответствующим распределением плотности заряда или тока ρν, покрывающим всю часть пространства, которая в любой момент времени принадлежит области 𝑅. В случае электрической компоненты поля 𝐹4𝑙 мы должны взять распределение заряда с постоянной плотностью ρ4, а в случае магнитной компоненты поля 𝐹𝑚𝑛 — равномерное распределение тока в перпендикулярном направлении с компонентами плотности ρ𝑚 и ρ𝑛. Действие поля такого распределения заряда-тока, поскольку оно не происходит в результате смещений пробных тел, сопровождающих контроль импульса, может в принципе быть исключено путём использования фиксированных вспомогательных тел, несущих распределение заряда-тока противоположного знака и построенных таким образом, чтобы не препятствовать свободному движению пробных тел. В случае токового распределения такие вспомогательные тела даже необходимы, чтобы обеспечить замкнутые цепи токов путём некоторой гибкой проводящей связи с пробными телами. В результате этой компенсации, источники поля всей измерительной установки будут, таким образом, описываться только поляризацией 𝑃μν возникающей от неконтролируемых смещений пробных тел в ходе измерений поля.
Если пробные тела выбраны достаточно тяжёлыми, мы можем всюду пренебрегать любым разбросом в их скоростях, но контроль их импульсов будет, конечно, приводить к существенному разбросу в их координатах в степени, требуемой соотношением неопределённости. Тем не менее можно, не нарушая никаких требований квантовой механики, не только удержать каждое пробное тело фиксированным в его первоначальном положении за исключением временных интервалов внутри области 𝑅 соответствующей этому положению, но также гарантировать, что в течение таких временных интервалов смещения всех пробных тел в направлении передаваемого импульса, который следует измерить, совершенно одинаковы, хотя и неконтролируемы. Это общее смещение 𝐷μ описывается, в случае измерения электрического поля, компонентой 𝐷𝑙 параллельной компоненте поля 𝐹4𝑙 а при измерении магнитного поля — компонентами 𝐷𝑚 и 𝐷𝑛, перпендикулярными 𝐹𝑚𝑛. Кроме того, не ограничивая точности измерений поля, можно считать смещение 𝐷𝑚 произвольно малым, если только плотность заряда-тока ρν пробных тел выбрана достаточно большой. Путём дальнейшего усовершенствования составной измерительной установки, описанной в нашей предыдущей работе (I, § 3), можно даже свести измерение любой полевой средней к контролю импульса одного единственного дополнительного тела и, таким образом, получить ещё более сжатое выражение окончательных следствий из общего соотношения неопределённости.
