Однако существенное обстоятельство в измерениях поля состоит в необходимости исключить в той степени, в какой это только возможно, неконтролируемый вклад в усреднённое поле, присутствующее в области 𝑅, возникающий от смещения пробных тел в ходе измерения. В самом деле, математическое ожидание этого вклада будет меняться обратно пропорционально величине разброса, допускаемого в измерениях поля, так как она пропорциональна поляризации 𝑃μν=𝐷μρν-𝐷νρμ внутри области 𝑅. Однако именно это обстоятельство делает возможным с помощью подходящего механического устройства, с помощью которого на пробные тела действует сила, пропорциональная их смещению, скомпенсировать импульс, передаваемый этим телам неконтролируемым полем, поскольку отношение этих полей к их источникам выражается классической теорией поля. С описанной процедурой компенсации результирующее измерение поля 𝐹μν(𝑅) действительно удовлетворяет всем требованиям квантовой теории поля относительно определения полевых средних (I, § 5). В самом деле, вследствие существенно статистического характера элементарных процессов, включающих испускание и поглощение фотонов, некомпенсируемая часть действия поля пробных тел точно соответствует характерным флуктуациям поля, которые в квантовой электродинамике накладываются на все математические ожидания величин, определяемых источниками поля.
Когда рассматривается измерение двух полевых средних 𝐹μν(𝑅) и 𝐹ϰλ(𝑅'), оказывается (I, § 4), что математическое ожидание усреднённой компоненты поля Φμν,ϰλ(𝑅,𝑅') которое создаётся в области 𝑅' смещением пробных тел в области 𝑅, равно произведению ½𝑅𝑃μν на величину 𝐴μν,ϰλ(𝑅,𝑅'), встречающуюся в перестановочных соотношениях (2). Аналогично математическое ожидание усреднённой компоненты поля Φϰλ,μν(𝑅',𝑅) в области 𝑅, обусловленного пробными телами в области 𝑅, равно ½𝑅'𝑃ϰλ'𝐴ϰλ,μν(𝑅',𝑅). Когда установлена оптимальная компенсация импульсов, передаваемых пробным телам этими полями, (она достигается с помощью соответствующих устройств, использующих корреляцию путём световых сигналов между точками этих двух областей R и R'), из взаимный неопределённости контроля координаты и импульса можно сделать вывод, что единственное ограничение измеримости двух рассматриваемых полевых средних в точности соответствует следствиям перестановочных соотношений (2) для таких средних (I, § 6, 7). В этой связи следует подчеркнуть, что флуктуации поля, которые неотделимы от некомпенсируемых частей полей, порожденных действием пробных тел, не приводят к каким-либо ограничениям измеримости компонент поля в двух асимптотически совпадающих пространственно-временных областях. Фактически мы здесь имеем дело с полной аналогией существующей в квантовой механике воспроизводимости значений, наблюдаемых в двух непосредственно следующих друг за другом измерениях.
2. Измерения заряда-тока в начальном приближении
В формализме квантовой электродинамики плотности заряда-тока вводятся, подобно полевым величинам, компонентами 𝑗ν(𝑥) в каждой пространственно-временно́й точке, но даже в начальном приближении, в котором такие символы формально перестановочны, чётко определённые выражения даются только интегралами типа
𝐽
ν
(𝑅)
=
1
𝑅
∫
𝑅
𝑗
ν
(𝑥)
𝑑
4
𝑥
,
(3)
представляющими усреднённую плотность заряда-тока в конечной пространственно-временно́й области 𝑅. Из основных уравнений электродинамики следует в наиболее общем виде, что
𝑅𝐽
ν
(𝑅)
=
∫
𝑅
∂𝑓μν
∂𝑥ν
𝑑
4
𝑥
=
∫
𝑆
𝑓
μν
𝑑σ
ν
;
(4)
это соотношение представляет собой определение средней плотности заряда-тока в области 𝑅 в терминах потока электромагнитного поля через границу 𝑆 этой области. В этом четырёхмерном представлении такие обобщённые потоки включают, конечно, кроме обычного потока электрического поля, определяющего среднюю плотность заряда, другие выражения, связанные со средними плотностями тока и представляющие циркуляции магнитного поля и токи смещения.
В простом частном случае, когда область 𝑅 определена фиксированным пространственным объёмом 𝑉 и постоянным временны́м интервалом 𝑇, средняя плотность заряда в соответствии с (4) будет задаваться, в обычном векторном представлении, выражением
𝐽
4
(𝑉,𝑇)
=
1
𝑉𝑇
∫
𝑇
𝑑𝑡
∫
𝑆
𝐄𝐧
𝑑σ
,
(5)
где 𝑆 — поверхность, ограничивающая объём 𝑇, а 𝐧 — единичный вектор внешней нормали к этой поверхности. В таком представлении средняя плотность тока будет иметь вид
𝐉(𝑉,𝑇)
=
1
𝑉𝑇
∫
𝑇
𝑑𝑡
∫
𝑆
[𝐧𝐇]
𝑑σ
-
1
𝑉𝑇
∫
𝑉
𝐄
𝑑𝑣
⎪
⎪
⎪
𝑡2
𝑡1
,
(6)
где первый член в правой части представляет собой интеграл по времени от тангенциальной составляющей магнитного поля, проинтегрированной по поверхности 𝑆, тогда как последний член выражает разность между объёмными интегралами от электрического поля в начале и в конце временно́го интервала 𝑇.
Таким образом, определение средней плотности заряда-тока 𝐽ν(𝑅) требует измерения потока поля через границу 𝑆 пространственно-временно́й области 𝑅. Исследование проблемы такого измерения разумно начать с рассмотрения усреднённого потока через тонкую четырёхмерную оболочку, расположенную на границе 𝑆; при этом для простоты будем предполагать, что она имеет постоянную толщину в пространстве-времени. Как в ситуации, встречающейся при измерении усреднённой компоненты поля 𝐹μ,ν(𝑅) нам потребуется для этой цели некоторая система подвижных пробных тел, заполняющих пространство, принадлежащее в данный момент времени оболочке с соответствующим равномерным распределением заряда-тока, действие полей которых обычным образом нейтрализуется распределением противоположного знака на фиксированных, проницаемых вспомогательных телах. Для измерения усреднённой плотности заряда 𝐽4 достаточно взять набор пробных тел с равномерным распределением плотности заряда ρ4, в то время как при измерении компоненты тока 𝐽𝑙 мы должны использовать, кроме таких пробных тел, другой независимый набор свободно движущихся пробных тел с равномерным распределением плотности тока ρ𝑙 параллельным компоненте измеряемого тока.
В измерении средней плотности заряда оценка потока через оболочку требует определения алгебраической суммы импульсов, передаваемых пробным телам в направлении нормали к мгновенной пространственной границе. Однако оценка этой суммы не требует независимых измерений импульсов, передаваемых отдельным пробным телам в пределах временны́х интервалов, в течение которых их координаты принадлежат пространственно-временно́й оболочке. Она может быть получена путём комбинированного процесса измерения, в котором координаты всех пробных тел скоррелированы соответствующими устройствами, чтобы обеспечить в течение этих интервалов одну и ту же величину смещения каждого пробного тела в направлении нормали. Путём выбора достаточно большого значения произведения толщины оболочки на плотность заряда пробных тел можно сделать неконтролируемое общее смещение 𝐷 всех пробных тел в направлении нормали произвольно малым и всё же получить неограниченную точность для среднего потока через оболочку. Подобно измерению простой полевой средней, можно кроме того достичь автоматической компенсации неконтролируемых вкладов в этот средний поток, обусловленных полями, вызванными смещением пробных тел, и пропорциональных 𝐷ρ4. Эта компенсация будет даже полной в рассматриваемом начальном приближении, так как флуктуации поля благодаря отсутствию источников не дают никакого вклада в поток. Поскольку эти рассуждения справедливы при любой заданной толщине оболочки, в принципе возможно, в асимптотическом пределе резкой границы, точное измерение средней плотности заряда в пределах чётко определённой пространственно-временно́й области.
