В измерениях усреднённой компоненты тока 𝐽_𝑙 мы должны учитывать циркуляцию магнитного поля так же, как и электрическое поле пространственно-временно́й оболочки. Таким образом, в частном случае, когда 𝑅 определено пространственным объёмом 𝑉 и временным интервалом 𝑇, мы имеем дело, согласно (6), не только со вкладом от средней по интервалу 𝑇 магнитной циркуляцией вокруг направления 𝑙 в тонкой пространственной оболочке на границе 𝑉, но также со вкладом, представляющим разность между объёмными интегралами по 𝑉 от компоненты электрического поля в направлении 𝑙, усреднённой по двум коротким временны́м интервалам в начале и в конце интервала 𝑇. Оценка этих вкладов требует измерительных процедур такого же типа, как описанные выше в случае измерений простых полевых средних. В то время как измерение последнего вклада требует контроля импульса в направлении 𝑙, передаваемого набору пробных тел с постоянной плотностью заряда ρ оценка первого вклада требует контроля импульса, нормального к пространственной границе, передаваемого другому набору пробных тел с постоянной плотностью тока ρ_𝑙.

Точно так же, как в случае обсуждавшихся выше измерений заряда или поля, все эти операции могут быть скоррелированы таким путём, что определение алгебраической суммы импульсов, передаваемых каждому пробному телу в требуемом интервале времени и направлении, может быть сведено к контролю импульса некоторого дополнительного тела. При такой корреляции все пробные тела с плотностью заряда ρ будут испытывать в течение соответствующих временны́х интервалов одинаковое смещение 𝐷_𝑙 а все пробные тела с плотностью тока ρ_𝑙 — одинаковое нормальное смещение 𝐷. Интерпретация измерений тока требует далее установления корреляции между этими двумя смещениями, которые должны удовлетворять условию: ρ𝐷_𝑙=ρ_𝑙𝐷. При таких обстоятельствах путём выбора достаточно больших ρ и ρ_𝑙, можно без ограничения точности измерения достичь того, чтобы смещения 𝐷_𝑙 и 𝐷 были произвольно малыми. Более того, с помощью соответствующих механических устройств уже упомянутого типа можно получить полное автоматическое исключение неконтролируемых вкладов от действия пробных тел в измеряемый средний ток.

Едва ли нужно добавлять, что процедура может быть распространена на совершенно произвольную пространственно-временну́ю область 𝑅. Для этого необходимо использовать установку, в которой каждое пробное тело смещается как раз в таком временном интервале, в течение которого его координаты принадлежат пространственно-временно́й оболочке, окружающей область 𝑅. В этой связи следует отметить, что компактное четырёхмерное описание всех измерительных процессов компонент заряда-тока предполагает использование 4-вектора распределения тока, постоянного в оболочке и параллельного измеряемой компоненте заряда-тока.

Как и в случае измерений заряда, все рассуждения, касающиеся измерений тока, не зависят от толщины оболочки, и поэтому в принципе возможно, в рассмотренном начальном приближении, определять с неограниченной точностью любую усреднённую компоненту заряда-тока 𝐽_ν(𝑅) в чётко ограниченной области 𝑅. Что касается измерений заряда-тока в двух пространственно-временны́х областях, то легко видеть, что в предельном случае резких границ все действия поля, сопровождающие измерения потока, будут исчезать в любой точке пространства-времени, не принадлежащей границам. Поэтому в соответствии с формализмом в рассматриваемом приближении не будет взаимного влияния измерений усреднённых плотностей заряда-тока в различных пространственно-временны́х областях.

Ситуация, описанная до сих пор, конечно, представляет собой только иллюстрацию совместимости последовательной математической схемы с точным применением определения физических понятий, к которым оно относится; в частности, она совершенно не зависит от вопроса о возможности действительно создать пробные тела с требуемыми свойствами и манипулировать этими телами. Такого рода пренебрежение всеми ограничениями, которые могут возникнуть вследствие атомного строения материи, однако вполне оправдано, когда имеют дело с квантовой электродинамикой в первом приближении. Фактически на этой стадии формализм существенно не зависит от пространственно-временно́го масштаба, так как содержит только универсальные константы 𝑐 и ℏ, которых недостаточно, чтобы определить какую-нибудь величину размерности длины или интервала времени.

3. Измерения заряда-тока в теории с электронно-позитронными парами

Новые аспекты проблемы измерений возникают в квантовой электродинамике в следующем приближении, в котором рассматриваются эффекты, пропорциональные 𝑒²/ℏ𝑐 и где мы встречаемся с дополнительными особенностями, связанными с рождением электронных пар, вызванным электромагнитными полями. Для перестановочных соотношений компонент поля это означает в общем лишь небольшую модификацию, выражаемую дополнительными членами, содержащими 𝑒²/ℏ𝑐. Однако зарядо-токовые величины уже не будут коммутирующими, а будут подчиняться перестановочным соотношениям вида

[

𝐽

_ν

(𝑅)

,

𝐽

_μ

(𝑅')

]

=

𝑖ℏ𝑐

[

𝐵

_νμ

(𝑅,𝑅')

-

𝐵

_μν

(𝑅',𝑅)

]

,

(7)

где выражения 𝐵_νμ(𝑅,𝑅') — интегралы от сингулярных функций по областям 𝑅 и 𝑅'. В противоположность величинам 𝐴_μν,ϰλ(𝑅,𝑅'), встречающимся в соотношении (2), которые зависят от простых пространственно-временны́х характеристик задачи, величины 𝐵, однако, кроме таких характеристик также существенно включают длину ℎ/𝑚𝑐 и период ℎ/𝑚𝑐², связанные с массой электрона 𝑚.

Для подхода к проблеме измеримости зарядо-токовой величины 𝐽_ν(𝑅) этом приближении, мы должны опять рассмотреть системы заряженных пробных тел, действующих в пространственно-временно́й оболочке на границе области 𝑅 но мы должны теперь исследовать эффект появления плотности заряда-тока как следствия реального или виртуального рождения электронных пар в результате действия поля, происходящего от смещения пробных тел в течение измерительного процесса. Как мы увидим, эти эффекты, которые нераздельно связаны с измерениями, никоим образом не ограничивают возможности проверки теории ⁶.

⁶ В статье Халперна и Джонсона (Halpern, Johnson, Phys. Rev., 1941,59,896) выдвигаются аргументы, указывающие на гораздо более жёсткие ограничения измерений поля и тока. Однако в этих рассуждениях не делается достаточного разделения между такими действиями заряженных пробных тел, которые непосредственно связаны с их использованием в измерительной процедуре, и такими действиями, которые могут быть исключены соответствующей нейтрализацией вспомогательными телами противоположного заряда.

Прежде всего усреднённый эффект поляризации вакуума в результате виртуального и реального рождения пар в процессе измерения может быть исключён с помощью компенсирующего устройства, подобного описанному ранее. Правда, прямая оценка этих поляризационных эффектов в квантовой электродинамике приводит к расходящимся выражениям, которые могут быть сделаны конечными только путём некоторой процедуры перенормировки или регуляризации ⁷. При такой процедуре усреднённые поляризационные эффекты дадут вклад в плотность заряда-тока, который пропорционален общему смещению пробных тел. Таким образом, в пределе резкой границы области 𝑅, обозначая поверхностную поляризацию на границе через 𝑃_ν, мы получаем выражение 𝑅𝑃_ν𝐵_μν(𝑅,𝑅), где последний множитель представляет собой значение 𝐵_μν(𝑅,𝑅'), в соотношении (7) для совпадающих пространственно-временны́х объёмов.

⁷ Ср.: W. Pauli, F. Villa г s. Rev. Mod. Phys., 1949, 21, 434.

Кроме того, интерпретация статистических эффектов, обусловленных реальным рождением электронных пар в процессе измерения, неразрывно связана с интерпретацией флуктуаций усреднённых плотностей заряда-тока в квантовой электродинамике. В то время как среднее квадратичное отклонение компоненты поля 𝐹_μν(𝑅) в резко ограниченной пространственно-временно́й области 𝑅 является конечным, конечные значения для средних квадратичных флуктуаций зарядо-токовых величин можно получить, однако, только при дальнейшем усреднении по ансамблю областей 𝑅, границы которых могут иметь определённую ширину около некоторой данной поверхности ⁸.