При сравнении различных культур, опирающихся на традиции, воспитанные историческими событиями, мы встречаем затруднение, которое состоит в том, что трудно оценить культуру одного народа на фоне традиций другого. В этом отношении связь между национальными культурами иногда характеризовалась как дополнительная, но это слово нельзя здесь употреблять в его строгом смысле, в каком его употребляют в атомной физике или в психологическом анализе, где мы имеем дело с неизменяемыми чертами нашего положения. С одной стороны, контакт между народами часто приводил к слиянию культур при сохранении ценных элементов национальных традиций; с другой стороны, и антропологические исследования постепенно становятся важным источником, освещающим общие для всех культур черты развития. Нам представляется несомненным, что проблему единства знаний нельзя отделять от стремления к всеобщему взаимопониманию как средству поднятия человеческой культуры.

В заключение этого доклада мне следовало бы просить извинения в том, что, говоря на такие общие темы, я так много ссылался на одну специальную область знаний, а именно на физические науки. Но мне хотелось указать на одну точку зрения, подсказанную нам в наши дни тем серьёзным уроком, который был преподан нам в этой области; мне кажется, что эта точка зрения имеет важное значение для проблемы единства знаний. Эту установку можно резюмировать как стремление достигнуть гармоничного понимания всё более широких аспектов того положения, в котором мы находимся. Мы должны признать, что ни один опытный факт не может быть сформулирован помимо некоторой системы понятий и что всякая кажущаяся дисгармония между опытными фактами может быть устранена только путём надлежащего расширения этой системы понятий.

1956

78 МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ ^*

^*Mathematics and Natural Philosophy. The Scientific Monthly, 1956, 82, 85-88.

Каждый из нас впервые обнаруживал мощь математических рассуждений в их простейшей форме, когда знакомился с числами и их использованием. Все мы по воспоминаниям о нашем собственном детстве и из опыта воспитания наших детей представляем себе, как обычный счёт из детской игры постепенно находит себе более осознанное применение в качестве мощного инструмента для упорядочения множества вещей и событий, инструмента, который выражается в правилах действий — сложения, вычитания, умножения и деления. Подобным же образом упоминание о нашем обучении элементарной математике вызывает в нашей памяти чудесные впечатления ранней юности, когда мы узнавали о способах измерения расстояний и высоты деревьев с помощью простых геометрических построений, которые применялись ещё древними жителями Египта и Месопотамии с такой осведомлённостью в геодезии и астрономии.

Роль изучения математики в развитии логического мышления, несомненно, невозможно переоценить. Мы должны сознавать, что каждый учащийся проходит своим собственным умом, хотя и в гораздо более лёгких условиях и с соответственно большей скоростью, шаг за шагом весь тот величественный путь, который человечество проделало и вымостило в течение веков. Важной вехой этого пути были достижения Древней Греции, в которой одновременно с непревзойдённым процветанием искусств предпринимались попытки построить математическую науку на фундаменте чётко сформулированных логических принципов, причём эти попытки оказались настолько успешными, что и сейчас вызывают наше восхищение и представляют собой вечный вызов.

Мне нет необходимости подчёркивать, сколь бесценный образец для тренировки строгости аргументации по-прежнему представляют собой начала Эвклида и как много нам дало глубокое изучение геометрических пропорций, которое привело Эвдокса к различению так называемых рациональных и иррациональных чисел, явившемуся основой ещё более широких математических обобщений. То обстоятельство, что греческим философам были известны парадоксы, встречающиеся в проблемах, связанных с бесконечными последовательностями (как, например, комическая история о состязании в беге между Ахиллесом и черепахой), повышало требования к строгости математических доказательств. Поучительной иллюстрацией в этом отношении является недоверие Архимеда к методам, родственным современному исчислению бесконечно малых, которые он использовал при первом выводе своих знаменитых формул объёма пирамиды и сферы.

Осознание роли математики как руководящего принципа в натурфилософии также восходит к времени древних греков. Всем известно, как подчёркивал Пифагор, важность простых численных соотношений в музыкальной гармонии и в космологии или какую роль в изучении правильных многогранников сыграло стремление Платона к идеалу красоты и совершенства. Среди имеющих непреходящее значение вкладов греческих математиков в физическую науку следует особо упомянуть законы равновесия опёртых и плавающих тел, которые Архимед с его безошибочной интуицией обосновал простыми аргументами симметрии и баланса. Однако в трактовке динамических задач долго оставались большие трудности на пути исключения аргументов, связанных с представлением о воздействии, оказываемом извне на наши движения, и о неких целях, находящихся за пределами наших повседневных действий.

Освобождение от аристотелева подхода к динамике, как известно, впервые произошло в эпоху Возрождения, когда Галилей осознал элементарный характер равномерного движения и применимость представления о воздействии силы лишь к случаям изменения такого движения. На этой основе Ньютон построил чудесное здание классической механики, которая благодаря своему могуществу и широте, а также удобству выполнения математических расчётов стала идеальным образцом научного описания и привела к так называемой механистической картине природы. Кроме того, из аналитической геометрии Декарта возник очень удобный математический инструмент в виде дифференциального исчисления, в которое сам Ньютон, в равной мере выдающийся физик и математик, внёс столь фундаментальный вклад.

Это революционное развитие породило чрезвычайно тесную связь между физическими и математическими исследованиями; открытия в физике стимулировали работу математиков, а математические абстракции и обобщения в свою очередь способствовали прояснению физических проблем. В качестве типичного примера можно вспомнить, как изучение явления теплопроводности побудило Фурье заняться разработкой гармонического анализа, который до наших дней остаётся важным разделом чисто математических исследований и в то же время оказывается всё в большей степени незаменимым инструментом во многих областях физики. Мы можем также упомянуть взаимосвязь между фундаментальными результатами Фарадея в области электричества и магнетизма и теорией Максвелла электромагнитных полей, которая вызвала развитие таких математических дисциплин, как векторный и тензорный анализ, оказавшихся столь полезными во многих разделах физической науки.

Очень внушительный обзор мощных средств, которыми располагают сегодня физики благодаря изобретательной деятельности математиков прошлых столетий, представлен в великолепном трактате Куранта и Гильберта о методах математической физики. В этом труде, неоценимом для каждого студента, ясно излагаются логические обобщения, оказавшиеся исключительно плодотворными не только для изучения разнообразнейших проблем в рамках классической физики, но и способствовавшие прояснению новых вопросов, с которыми мы столкнулись в ходе современного развития физической науки.

Новый, более широкий подход к описанию и пониманию явлений природы начинается с осознания ограниченной применимости самих понятий абсолютного пространства, времени и причинности, на которых основывалась механическая картина природы. Первым толчком к этому, как известно, послужили утонченные оптические измерения. С их помощью было показано отсутствие эффектов, ожидаемых в связи с движением Земли вокруг Солнца, и установлено, что наблюдатели, движущиеся друг относительно друга с большими скоростями, воспринимают явления по-разному. Фактически такие наблюдатели не только получают различные представления о положении и форме твердых тел; события в разных точках пространства могут казаться одному из них одновременными, в то время как другой будет считать их происходящими в разные моменты времени.