𝐷
(I)
𝑥
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
𝐴
(12)
𝑥𝑦
,
𝐻
(I)
𝑥
=
0,
𝐻
(I)
𝑦
=
ρ
I
𝐷
(I)
𝑥
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
𝐵
(12)
𝑥𝑦
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(42)
Здесь использованы сокращенные обозначения (2) и выписаны только некоторые, типические компоненты.
В силу свойств дельта-функции легко видеть, что даваемые формулами (42) компоненты поля всегда остаются конечными и даже не превышают значений порядка ρI𝐷(I)𝑥 ни в одной пространственно-временно́й точке (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2, 𝑡2). Именно такой порядок величины имеют, как мы уже говорили (при обсуждении возражений Ландау и Пайерлса) в § 3, те электромагнитные силы, которые возникают при измерении импульса пробного тела в течение времени Δ𝑡. Эти силы не могут заметно возрасти и в последующее время, поскольку сразу же после измерения импульса тело испытывает противоположный толчок, в результате которого оно приходит в состояние покоя; все эти обстоятельства математически выражаются в идеализированном виде формулами (36) и (37).
Нас особенно интересуют значения компонент поля, усреднённые по области II. Эти средние значения получаются из (42) после интегрирования в соответствующих пределах по координатам и времени; они выражаются формулами
𝐸
(I,II)
𝑥
=
𝐷
(I)
𝑥
ρ
I
𝑉
I
𝑇
I
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
;
𝐸
(I,II)
𝑦
=
𝐷
(I)
𝑥
ρ
I
𝑉
I
𝑇
I
𝐴
(I,II)
𝑥𝑦
;
𝐻
(I,II)
𝑥
=
𝐷
;
𝐻
(I,II)
𝑦
=
𝐷
(I)
𝑥
ρ
I
𝑉
I
𝑇
I
𝐵
(I,II)
𝑥𝑦
.
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(43)
На основании свойств выражений 𝐴 и 𝐵, уже обсуждённых нами в § 2, мы можем утверждать, что даваемые формулами (43) выражения для средних значений поля представляют при заданной величине 𝐷(I)𝑥 вполне определённые непрерывные функции областей I и II. При убывании продолжительности измерения импульса Δ𝑡 и соответствующего непредсказуемого смещения Δ𝑥 эти средние значения поля оказываются, таким образом, не зависящими от подробностей хода процессов столкновения и просто пропорциональными постоянной величине смещения пробного тела за время измерения 𝑇I. Именно это обстоятельство и является, как мы увидим ниже, решающим для возможности далеко идущей компенсации не поддающихся контролю полей, возникающих от пробных тел.
До сих пор вычисление этих полей производилось нами на чисто классической основе. Для более подробного сравнения возможностей измерения с требованиями, вытекающими из аппарата квантовой электродинамики, нам необходимо рассмотреть ещё квантовую сторону дела. Мы должны учесть те ограничения, которые налагаются на классический способ расчёта квантовыми особенностями полевых воздействий, связанными с представлением о световых квантах. Чтобы получить понятие о тех соотношениях, которые здесь имеют место, мы допустим, что рассматриваемые области усреднения одинаковы по порядку величины и смещены в пространстве относительно друг друга на отрезки того же порядка величины, как их линейные размеры, которые мы обозначим через 𝐿; кроме того, мы допустим, что соответствующие временны́е интервалы (имеющие порядок 𝑇) не превышают величины 𝐿/𝑐. При таких условиях в спектральном разложении полевых воздействий будут встречаться в основном только волны, длина которых будет того же порядка, что и 𝐿. Далее, напряжённость поля, порождаемого измерением импульса, будет по порядку величины равна ρΔ𝑥, а значит энергия поля, содержащаяся в объёме 𝑉, будет порядка ρ²(Δ𝑥)²𝑉. Поэтому оценка для числа световых квантов, которые могут здесь играть роль, будет даваться выражением
𝑛
∼
ρ²
(
Δ
𝑥)²
𝑉
𝐿
ℏ𝑐
=
λ
-2
𝐿
𝑐𝑇
,
(44)
где λ — множитель, характеризующий точность измерения и определяемый формулой (20). Таким образом, если требуется точность, позволяющая мерить поля, меньше критической величины 𝑄 [формула (18)], то в нашем случае число квантов 𝑛 будет всегда велико по сравнению с единицей.
Относительная точность классически вычисленных выражений (42) и (43) для рассматриваемых полевых воздействий будет тем большей, чем больше точность измерения поля, которой мы задаёмся. Необходимо, однако, заметить, что абсолютная точность этих выражений не меняется при возрастании 𝑛. В самом деле, статистические флуктуации значений поля, усреднённых по некоторой пространственно-временно́й области, будут в нашем случае иметь порядок величины
ρΔ𝑥
√𝑛
∼
⎧
⎪
⎩
ℏ𝑐
𝑉𝐿
⎫½
⎪
⎭
∼
√ℏ𝑐
𝐿²
.
Это выражение, дающее оценку флуктуаций поля, порождаемого пробными телами, всегда остаётся конечным и зависит только от линейных размеров области усреднения. Оно совпадает с выражением (14), относящимся к чистым флуктуациям чёрного излучения; последнее было выведено для случая 𝐿 > 𝑐𝑇 из формального аппарата теории. Вообще приведённое выше рассуждение представляет не более чем пример рассмотренного в § 2 общего соотношения между флуктуациями чёрного излучения и статистическими отклонениями поля от его значения, вычисляемого на основе классической теории по заданному расположению источников. Там уже было упомянуто, что в случае 𝐿 > 𝑐𝑇, особенно важном для проверки аппарата теории, флуктуации чёрного излучения будут всегда меньше той напряжённости поля 𝑄, которая характеризует дополнительную измеримость полевых величин, а именно, они будут тем меньше, чем больше отношение 𝐿 к 𝑐𝑇. В нижеследующем сравнении между измерениями поля и аппаратом теории мы будем поэтому всегда исходить из вычисляемых классически выражений (43) и лишь под конец мы обсудим вопрос о значении флуктуационных явлений для непротиворечивости аппарата теории.
§ 5. Измерение отдельных усреднённых значений поля
В основу исследования возможностей измерения усреднённых значений поля мы положим уравнение (15), из которого будем исходить как из определения. Уравнение это выражает классически описываемый баланс количества движения (импульса) для пробного тела, находящегося в поле. Согласно приведённым выше рассуждениям, каждая компонента поля, например 𝕰𝑥, должна рассматриваться как результат наложения полей всех источников, включая поля от самих пробных тел. Сущность проблемы измерения состоит как раз в решении вопроса о том, в какой мере все эти поля могут быть сопоставлены отдельным источникам. Но мы хотели бы уже здесь подчеркнуть, что для принятого выше определения усреднённых значений поля строгая применимость классического понятия поля остаётся в полной силе; она не подрывается тем, что классическое описание полей, порождаемых пробными телами, справедливо, как мы уже упоминали, лишь в известных пределах. Для однозначности принятого выше определения требуется лишь, чтобы массы пробных тел могли быть выбраны достаточно большими (настолько большими, чтобы можно было пренебречь теми изменениями электромагнитных полей, которые происходят от ускорения пробных тел под влиянием измеряемых полей). Это соображение не связано с рассмотренным в § 3 вопросом о достижимой точности измерения импульса пробных тел в начале и в конце данного промежутка времени. Можно было бы усмотреть в указанном пренебрежении противоречие с атомным (дискретным) характером обмена импульса между электромагнитными полями и материальными телами. Однако здесь нужно иметь в виду, что в рассматриваемой проблеме измерения речь вовсе не идёт о том, чтобы проследить какие-либо определённые элементарные процессы в смысле представления о световых квантах. Так, в описанном выше измерительном устройстве твердый каркас (с которым каждое пробное тело связано до начала и после конца измерения) принимает на себя неконтролируемый импульс (толчок).
