В предельном случае, когда возможно классическое описание взаимодействия между цугом электромагнитных волн и достаточно тяжёлым заряженным телом, указанный перенос импульса в точности компенсировал бы импульс, воспринятый пробным телом в течение промежутка времени, затраченного на измерение.
Прежде чем перейти к общему обсуждению проблемы измерения, мы рассмотрим сперва отдельное измерение поля, когда требуется (как в § 3) определить значение 𝕰𝑥, усреднённое по определённой пространственно-временно́й области, которую мы будем обозначать индексом I, в соответствии с обозначениями предыдущего параграфа. Согласно основному уравнению (15) мы получим для приращения импульса пробного тела выражение
𝑝
(II)''
𝑥
-
𝑝
(II)'
𝑥
=
ρ
I
𝑉
I
𝑇
I
⎧
⎩
𝕰
(I)
𝑥
+
𝐸
(I,I)
𝑥
⎫
⎭
.
(45)
Здесь 𝕰(I)𝑥 — среднее значение того поля 𝕰𝑥, которое было бы в области I, если бы в момент времени 𝑡' не было предпринято измерение импульса пробного тела. Величина же 𝐸(I,I)𝑥 есть среднее значение той части поля, которая происходит от этого измерения импульса; основанная на классической теории оценка этой части поля даётся выражением (43), в котором нужно положить области I и II совпадающими.
Согласно изложенному в § 3, входящую в формулу (45) сумму усреднённых полей 𝕰(I)𝑥 и 𝐸(I,I)𝑥 можно определить с любой точностью, если только взять ρI достаточно большим. Однако чем больше ρI, тем больше будет неподдающееся контролю значение 𝐸(I,I)𝑥, а в силу этого для точности, достижимой при помощи только что описанного простого измерительного устройства, будет существовать верхняя граница. Согласно (45) указанная точность даётся формулой
Δ
𝕰
(I)
𝑥
∼
Δ𝑝
(I)
𝑥
ρ
I 𝑉
I 𝑇
I
+
Δ
𝐸
(I,I)
𝑥
.
(46)
Имея в виду, что входящая в (43) величина 𝐷(I,I)𝑥 может быть указана только с допуском Δ𝑥(I), и учитывая соотношение .неопределённости (16), мы получаем из (46) следующее выражение для Δ𝕰(I)𝑥:
Δ
𝕰
(I)
𝑥
∼
ℏ
ρIΔ𝑥I𝑉I𝑇I
+
ρ
I
Δ
𝑥
I
𝑉
I
𝑇
I
|
𝐴
(II)
𝑥𝑥
|.
(47)
Наименьшее значение этого выражения, очевидно, равно
Δ
𝑚
𝕰
(I)
𝑥
∼
⎧
⎪
⎩
ℏ
|
𝐴
(II)
𝑥𝑥
|
⎫½
⎪
⎭
.
(48)
а в случае 𝐿I > 𝑐𝑇I это число равно как раз критической величине 𝑄. Правда, в том случае, когда 𝐿I велико по сравнению с 𝑇I величина (48) будет существенно меньше того выражения (24), которое рассматривалось Ландау и Пайерлсом как абсолютный предел измеримости полевых величин. Но если бы величина (48) действительно была неизбежным пределом точности измерения поля, то мы бы всё же вынуждены были прийти к заключению, совпадающему с точкой зрения указанных авторов, а именно, что формальный аппарат квантовой электродинамики не допускает, будто бы, проверки в собственно квантовой области, так что вся теория поля имела бы реальный физический смысл только в классическом предельном случае.
Это заключение не может, однако, быть признано справедливым. В самом деле, согласно (43) входящий в выражение для 𝐸(I,I)𝑥 множитель при неизвестном смещении 𝐷(I)𝑥 представляет вполне определённую величину, зависящую только от геометрических соотношений; а это обстоятельство позволяет расположить измерения так, чтобы действие поля 𝐸(I)𝑥 полностью компенсировалось, если не считать неизбежных флуктуаций поля. Этого можно достигнуть таким измерительным устройством, в котором пробное тело даже и в течение времени измерения 𝑇 не будет свободным, а остаётся связанным с твердым каркасом посредством пружинного механизма, упругое напряжение которого пропорционально 𝐷(I)𝑥. Пусть этот механизм действует на пробное тело с некоторой упругой силой и пусть составляющая этой силы по оси 𝑥 равна -𝐹I𝐷(I)𝑥. Если коэффициент упругости 𝐹I этой силы взять равным
𝐹
I
=
ρ
2
I
𝑉
2
I
𝑇
2
I
𝐴
(II)
𝑥𝑥
,
(49)
то, очевидно, весь импульс, переданный полем 𝐸(I)𝑥 пробному телу, полностью нейтрализуется пружиной. Во всяком случае это будет так, если пробное тело настолько тяжело, что период его колебаний под действием пружины велик по сравнению с 𝑇I а значит его смещение (производимое за время 𝑇I натяжением пружины) мало́ по сравнению с 𝐷(I)𝑥. Правда, действие пружины может описываться при помощи классической механики лишь в асимптотическом предельном случае; однако основанные на таком описании расчёты будут справедливы с тем большей точностью, чем больше масса пробного тела. Если оставить в стороне те ограничения, которые обусловлены атомистической структурой всех тел, то против описанного выше компенсирующего устройства никаких принципиальных возражений быть не может. Во-первых, использование механической пружины позволяет обходиться без электромагнитных полей, которые были бы неотделимы от полей, подлежащих измерению. Во-вторых, здесь, очевидно, не требуется учёта каких-либо эффектов запаздывания, если только длина пружины достаточно мала, т. е. мала по сравнению с величиной 𝑐𝑇I. При условии, что система пробных тел достаточно тяжела, будет безразлично, действует ли пружина на отдельное (одно) пробное тело или же используется система пружин, действующих равномерно на все пробные тела.
Таким образом, возможность придать определённый смысл отдельному измерению поля ограничена только возможностью классического описания поля, порождаемого пробными телами. Граница эта (которая тем менее существенна, чем больше 𝐿I по сравнению с 𝑐𝑇I) не вносит даже и в случае 𝐿I ≤ 𝑐𝑇I каких-либо ограничений возможности опытного подтверждения выводов из формального аппарата квантовой электродинамики. При суждении по этому вопросу необходимо строго различать между тем предположением, что необходимые для теоретических выводов исходные данные об электрических и магнитных полях получены путём измерений поля, и тем предположением, что они получены иным путём. В первом случае проверка теоретических выводов требует, очевидно, исследования взаимосвязи между несколькими измерениями поля; в наших же рассуждениях речь идёт только о проверке выводов из исходных данных второго рода.
Те заключения о средних значениях поля, которые основаны не на прямом его измерении, а на данных о его квантовом составе или об его источниках (описываемых классически), носят существенно статистический характер. Это есть, как уже было сказано в § 2, главный результат, к которому приводит квантовая теория поля. Приведённое там подробное рассмотрение показывает также, что учёт флуктуаций полей, порождаемых пробными телами, не вносит изменений в упомянутые статистические заключения (мы имеем в виду флуктуации около значений, получаемых путём классического расчёта). Результаты измерений посредством описанного устройства дают, таким образом, без дальнейших поправок все искомые средние значения поля. Они и представляют то данные, Которые необходимы для проверки теоретических предсказаний. Правомерность такой интерпретации результатов измерений будет обоснована нами ниже для общего случая. Она вытекает и из того соображения, что во всех измерениях физических величин речь идёт, по определению, о применении классических представлений; поэтому и при измерении поля всякая попытка учёта ограничений строгой применимости классической электродинамики противоречила бы самому понятию измерения.
