Здесь мы должны, однако, сперва рассмотреть вопрос о том, в какой мере обратное действие полей излучения, порождаемых ускорениями пробных тел при измерении их импульса, способно помешать измерению входящих в формулу (15) начального и конечного значений компоненты импульса. Именно имея в виду возможность этих помех, Ландау и Пайерлс в своей цитированной выше работе подвергли сомнению применимость к заряженным телам соотношения неопределённости (16). Названные авторы пришли к выводу, что это соотношение следует заменить другим, ещё больше ограничивающим возможности измерения и содержащим явно заряд пробного тела. Но при этом они уподобили поведение пробного тела в электромагнитном поле поведению точечного заряда 𝑒. Для изменения количества движения пробного тела, вызванного обратным действием излучения за время Δ𝑡, они применяли поэтому оценку
δ
𝑒
𝑝
𝑥
∼
𝑒²
𝑐³
Δ𝑥
(Δ𝑡)²
.
(22)
Но если рассматривать δ𝑒𝑝𝑥 как дополнительную неопределённость в измерении импульса, то, полагая ρ𝑉=𝑒 и пренебрегая различием между 𝕰𝑥 и 𝕰𝑥 мы получаем вместо (17) выражение
Δ
𝑒
𝕰
𝑥
∼
ℏ
𝑒𝑇Δ𝑥
+
𝑒Δ𝑥
𝑐³𝑒𝑇(Δ𝑡)²
,
(23)
минимум которого относительно 𝑒, очевидно, равен
Δ
𝑚
𝕰
𝑥
∼
√ℏ𝑐
𝑐²𝑒𝑇Δ𝑡
.
(24)
Если теперь, следуя Ландау и Пайерлсу, пренебречь различием между 𝑇 и Δ𝑡, то это выражение перейдёт в даваемый ими абсолютный предел измеримости компонент поля; на существовании же такого рода предела базируется вся их критика основ квантовой электродинамики.
Однако мнимые трудности измерения импульса тотчас исчезнут при достаточно полном учёте протяженности электрического заряда пробного тела. Если ввести в качестве идеализации равномерное распределение зарядов, способное смещаться как твердое тело (допустимость такой идеализации будет обсуждена ниже), то электрические поля в объёме 𝑉 при ускорении пробного тела в течение времени Δ𝑡 могут достигнуть, самое большее, порядка величины ρΔ𝑥. В самом деле, согласно уравнениям Максвелла производные по времени от этих полей будут достигать, самое большее, порядка величины плотности тока, которая будет порядка ρΔ𝑥/Δ𝑡. Обратное электромагнитное воздействие этих полей на тело за время измерения Δ𝑡 может поэтому привести к передаче импульса, не превышающей по порядку величины выражения
δ
ρ
𝑝
𝑥
∼
ρ²𝑉
Δ
𝑥
Δ
𝑡
.
(25)
Сравнение формул (16) и (25) даёт, при учёте (18) и (20),
δ
ρ
𝑝
𝑥
∼
Δ
𝑝
𝑥
λ
-2
Δ𝑡
𝑇
(26)
а отсюда следует, что при наперёд заданной точности измерения поля, характеризуемой величиной λ, обратное влияние электромагнитного поля на импульс пробного тела («отдача») будет пренебрежимо мало́, если только взять Δ𝑡 достаточно малым по сравнению с 𝑇. Это обстоятельство и является решающим при суждении о точности измерений поля; в силу него оказывается невозможным непосредственно учитывать при отдельных измерениях импульса влияние «отдачи» на баланс импульса и энергии. В частности, предложение Паули 1 определять передаваемые излучением импульс и энергию путём последующего измерения при помощи особого приспособления является невыполнимым; это будет так уже потому, что возникающие при измерениях импульса, сделанных в начале и в конце промежутка времени 𝑇 поля излучения не могут быть отделены в должной мере друг от друга, по крайней мере в том случае, когда 𝐿 > 𝑐𝑇, а именно этот случай особенно важен для измерений поля. В следующих параграфах мы покажем в общем виде, что всякая попытка контроля над полем, возникающим от пробных тел, препятствовала бы использованию производимых при помощи их измерений поля.
1 См.: W. Pauli. Handbuch der Physik, 1933, Bd. 24/1, S. 257. (См. перевод: В. Паули. Общие принципы волновой механики. М.—Л., 1947. — Ред.)
Рассматривать пробные тела как непрерывные распределения зарядов, а не как точечные заряды важно, впрочем, не только для обсуждения поведения пробных тел во время измерения, но и для суждения о взаимном влиянии пробных тел, если их несколько. Ведь если не делать различия между неопределённостью в положении пробного тела, рассматриваемого как точечный заряд, и линейными размерами области, к которой относится измерение, то это будет означать произвольное допущение, чуждое проблеме измеримости. По этой причине нельзя признать правильными и выражения для произведения неопределённостей в 𝕰𝑥 и 𝕳𝑦 внутри одной и той же пространственно-временно́й области, полученные путём, рассмотрения точечных зарядов разными авторами (Гейзенбергом, с одной стороны, и Ландау и Пайерлсом, с другой). Эти выражения не только противоречат тому, что следует ожидать исходя из формального аппарата квантовой электродинамики (мы уже об этом говорили выше), но и не согласуются между собой за исключением частного случая, когда 𝐿 ∼ 𝑐𝑇. В этом случае обе оценки дают выражение 𝑄², которое получается из формального аппарата для порядка величины произведения дополнительных неопределённостей в двух по-разному усреднённых компонентах поля (пространственно-временна́я область усреднения для одной компоненты поля смещена по отношению к области усреднения для другой компоненты на отрезки порядка 𝐿 и 𝑇). Что касается совпадающих пространственно-временны́х областей, то в этом случае указанное произведение неопределённостей тождественно равно нулю, и это представляет существенную черту формального аппарата теории. Физический смысл этого результата становится очевидным, если мы учтём равномерное распределение зарядов пробного тела, используемого для измерения 𝕰𝑥. В самом деле, представим себе, что смещение заряда ρ𝑑𝑣, находящегося в элементе объёма вблизи точки 𝑃1, производит в точке 𝑃2 объёма 𝑉 некоторое магнитное поле; но это поле равно и противоположно по знаку тому магнитному полю, которое возникает в точке 𝑃1, когда такое же смещение испытывает заряд ρ𝑑𝑣, находящийся вблизи точки 𝑃2; поэтому возникающее в результате смещения пробного тела магнитное поле после усреднения по объёму 𝑉 оказывается равным нулю.
Из сказанного можно сделать следующие выводы. Для изучения вопроса об измеримости поля чрезвычайно существенным является предположение, что используемые пробные тела ведут себя как равномерно заряженные твердые тела, причём для всякого наперёд заданного сколь угодно малого промежутка времени их импульсы могут быть измерены с точностью, связанной соотношением дополнительности (16) с неконтролируемыми смещениями, сопровождающими измерение. При этом вследствие конечной скорости распространения всех сил мы не можем, разумеется, иметь в виду обычную механическую идеализацию твердого тела, а должны представлять себе каждое пробное тело как систему отдельных тел достаточно малых размеров; измерение полного импульса этой системы должно выполняться так, чтобы все эти отдельные тела испытывали при таком измерении приблизительно одинаковое смещение. Требование это не встречает принципиальных препятствий, по крайней мере постольку, поскольку можно отвлечься от атомистической структуры пробных тел. Это связано с тем, что необходимые измерения импульсов могут быть полностью описаны на языке классической физики. Такое описание возможно как в том случае, когда речь идёт о процессе столкновения между пробным телом и подходящим твердым телом, воспринимающим удар, так и в том случае, когда измерения основаны на исследовании эффекта Допплера, происходящего при отражении излучения от пробного тела. Взаимодействие между пробным телом и телом, воспринимающим удар, может быть прослежено на классической основе в обоих случаях: в первом случае при условии, что масса тела, воспринимающего удар, достаточно велика, а во втором случае при условии, что пучок света, применяемый для измерения эффекта Допплера, содержит достаточно большое число световых квантов. В самом деле, сопровождающая измерение импульса утрата определённости в положении пробного тела связана исключительно с невозможностью проследить, параллельно измерению импульса, ход процесса соударения относительно данной пространственно-временно́й системы отсчёта. Характерная дополнительность в способах описания основана ведь в конечном счёте на том, что фиксация процесса относительно определённой системы отсчёта связана с передачей импульса и энергии необходимым для реализации этой системы отсчёта масштабам и часам 1.
