§ 3. Предпосылки физических измерений поля
Измерение электромагнитного поля основывается по определению на передаче количества движения (импульса) тем или иным находящимся в поле электрическим и магнитным пробным телам. Квантовая теория требует здесь прежде всего осторожности в применении обычной идеализации, состоящей в том, что компонентам поля приписываются определённые значения в каждой пространственно-временно́й точке. Но помимо этого нужно учитывать, что дело идёт здесь всегда об усреднённых значениях этих компонент; мы имеем в виду как усреднение по промежуткам времени, необходимым для передачи количества движения, так и усреднение по объёмам, внутри которых распределены электрические заряды и магнитные полюса пробных тел. Разумеется, уже предположение о равномерном распределении заряда внутри пробного тела представляет собою идеализацию; однако эта идеализация, хотя и имеет лишь ограниченную применимость ввиду атомистической структуры всех материальных тел, тем не менее необходима для однозначного определения величин поля.
Чтобы остановиться на чем-нибудь определённом, рассмотрим измерение усреднённого значения компоненты 𝕰𝑥 электрического поля по оси 𝑥 усреднение берётся по объёму 𝑉 и промежутку времени 𝑇. Для этого мы должны взять пробное тело с электрическим зарядом, равномерно распределённым с плотностью ρ по объёму 𝑉; нам нужно будет найти значения 𝑝'𝑥 и 𝑝''𝑥 составляющей количества движения по оси 𝑥 для начала 𝑡' и для конца 𝑡'' промежутка времени 𝑇. Тогда искомое усреднённое значение 𝕰𝑥 определится из равенства
𝑝
''
𝑥
-
𝑝
'
𝑥
=
ρ
𝕰
𝑥
𝑉𝑇
.
(15)
При этом делаются следующие предположения: во-первых, промежутки времени, потребные для измерения импульса (пусть их порядок величины будет Δ𝑡), должны быть весьма малы по сравнению с 𝑇; во-вторых, смещения пробного тела, испытываемые им как вследствие измерения импульса, так и в результате ускорения, сообщаемого ему измеряемым полем за время 𝑇, должны быть малы по сравнению с линейными размерами объёма 𝑉.
Выбирая пробное тело достаточно тяжёлым, мы можем, очевидно, сколь угодно уменьшить его ускорение под действием поля. При измерении же импульса мы встречаемся с обстоятельствами, не зависящими от массы пробного тела. В силу соотношения неопределённости всякое выполненное с неточностью Δ𝑝𝑥 измерение компоненты импульса 𝑝𝑥 сопряжено с утратой Δ𝑥 точности знания координаты данного тела, причём порядок величины Δ𝑥 связан с Δ𝑝𝑥 соотношением
Δ𝑝
𝑥
Δ
𝑥
∼
ℏ
.
(16)
содержащимся в формуле (6). Само по себе это обстоятельство не представляет, впрочем, ограничения для достижения точности в измерении поля, поскольку мы ещё можем распоряжаться значением плотности заряда. В самом деле, пренебрегая величинами Δ𝑡 и Δ𝑥 по сравнению с 𝑇 и 𝐿, мы получаем из (15) и (16) для порядка величины неточности Δ𝕰𝑥 в измерении поля значение
Δ
𝕰
𝑥
∼
ℏ
ρΔ𝑥𝑉𝑇
,
которое при сколь угодно малом Δ𝑥 может быть сделано сколь угодно малым путём выбора достаточно большого значения ρ.
Строго говоря, точность измерения поля зависит ещё от абсолютного значения самой величины В самом деле, даже если бы 𝕰𝑥 было равно нулю, получаемое из (15) значение будет, при заданных допусках для Δ𝑡 и Δ𝑥, обладать вследствие нерезкости границы области измерения неопределённостью, которая может превысить любое заданное значение, если 𝕰𝑥 будет возрастать до бесконечности. Однако последнее обстоятельство отражает только ограничение, свойственное всем физическим измерениям, а именно тот факт, что для надлежащего выбора измерительных приборов необходимо наперёд знать порядок величины ожидаемых эффектов. В нашей задаче верхний предел интересующих нас эффектов определяется тем, что при возрастании значений компонент поля мы постепенно переходим в область применимости классической электромагнитной теории. Если взять случай 𝐿 > 𝑐𝑇 особенно пригодный для проверки аппарата квантовой электродинамики, то критической в указанном отношении величиной поля будет
𝑄
=
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝑉𝑇
⎫½
⎪
⎭
(18)
Это выражение совпадает с правой частью первой из формул (14), рассмотренных в предыдущем параграфе. Используя это обозначение, можно написать соотношение (17) в виде
Δ
𝕰
𝑥
∼
λ𝑄
,
(19)
где
λ=
𝑄
ρΔ𝑥
(20)
есть безразмерный множитель, характеризующий точность измерения поля.
Требование, чтобы λ было мало по сравнению с единицей и чтобы вместе с тем Δ𝑥 было мало по сравнению с 𝐿, означает, что полный электрический заряд тела должен состоять из весьма большого числа элементарных зарядов ε. Действительно, это число 𝑁, согласно (20), равно
𝑁
=
ρ𝑉
ε
=
𝑄𝑉
λεΔ𝑥
=
1
λ
⋅
𝐿
Δ𝑥
⋅
⎧
⎪
⎩
𝐿
𝑐𝑇
⎫½
⎪
⎭
⋅
⎧
⎪
⎩
ℏ𝑐
ε²
⎫½
⎪
⎭
(21)
и оно весьма велико, если выполняются перечисленные требования и если, как мы предполагали, 𝐿 > 𝑐𝑇. В формуле (21) последний множитель есть обратная величина корня квадратного из постоянной тонкой структуры, а малость этой постоянной представляет, как мы уже указывали во введении, существенную предпосылку основанной на принципе соответствия электронной теории. Как мы подчёркивали, измерение поля посредством элементарного заряда, взятого в качестве пробного тела, связано с большими ограничениями; это видно уже из формулы (21), если в ней положить 𝑁=1 1. Кроме того, предположение, что 𝑁 велико, представляет необходимое условие физической осуществимости равномерного распределения заряда пробного тела по объёму 𝑉; и пока линейные размеры пробного тела остаются большими по сравнению с размерами атома, выполнение этого условия не представляет, очевидно, затруднений. Выше было использовано также допущение, относящееся к массе пробного тела; оно сводится к тому, что эта масса должна быть весьма велика по сравнению с массой светового кванта длины волны 𝐿. В предположении, что 𝑁 велико, это допущение всегда выполнимо, и его можно было бы не оговаривать.
1 См.: V. Fock, Р. Jordan. Zs. f. Phys., 1930, 60, 206, где указывается на ограничения для измерений поля, не связанные с квантовой теорией полей. См. также: J. Solomon. Journ. d. Phys., 1933, 4, 368.
С ускорением всякого пробного тела, сопровождающим измерение его импульса, связано возникновение добавочного электромагнитного поля, которого мы, однако, до сих пор не рассматривали. Это добавочное поле налагается на первоначальное и должно входить в средние значения поля, определяемые уравнениями вида (15). В связи с этим главная задача нижеследующих рассуждений будет состоять в нахождении такого измерительного устройства, при котором поля, возникающие от пробных тел, были бы доступны контролю или компенсировались бы в максимально возможной степени.
