𝑆(𝐺)
=
1
𝑉2𝑇2
ℏ
3
∫
𝑇
𝑑𝑡
1
∫
𝑇
𝑑𝑡
2
∫
𝑉
𝑑𝑣
1
∫
𝑉
𝑑𝑣
2
×
×
∂2
∂𝑡1∂𝑡2
+∞
∫
-∞
⎧
⎪
⎩
∑
𝑖
ω
𝑖
+1
⎫
⎪
⎭
×
×
cos[
ϰ
𝑥
(𝑥
1
-𝑥
2
)
+
ϰ
𝑦
(𝑦
1
-𝑦
2
)
+
ϰ
𝑧
(𝑧
1
-𝑧
2
)
-
ν(𝑡
1
-𝑡
2
)
]
×
×
𝑑ϰ𝑥𝑑ϰ𝑦𝑑ϰ𝑧
ν
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(10)
Из формулы (10) можно усмотреть, что при заданном квантовом составе упомянутые флуктуации никогда не могут отсутствовать. Действительно, даже при ω𝑖 = 0, т. е. при полном отсутствии световых квантов, они принимают конечное положительное значение, которое можно после нетрудных вычислений привести к виду
𝑆
0
(𝐺)
=
2
3π²
ℏ𝑐
𝑉²
∫
𝑉
𝑑𝑣
1
∫
𝑉
𝑑𝑣
2
1
𝑟²[(𝑐𝑇)²-𝑟²]
,
(11)
Для всякого другого распределения световых квантов, определяемого заданием плотности ω𝑖, математическое ожидание квадрата флуктуации усреднённого значения компоненты поля будет больше, чем 𝑆0(𝐺). С другой стороны, вытекающие из аппарата теории флуктуации усреднённых значений поля могут стать сколь угодно малыми, если предположить известными (хотя бы из прямых измерений) значения компоненты поля. Разумеется, в этом случае спектральная плотность световых квантов ω𝑖 уже не будет определённой величиной, и мы должны будем довольствоваться статистическими характеристиками этой плотности.
Для обсуждения возможностей измерения существенным является, далее, то обстоятельство, что выражение (11) справедливо не только для флуктуаций поля в пространстве, где нет световых квантов. Оно представляет квадрат флуктуации усреднённого значения поля также и в том более общем случае, когда источниками поля служат распределения токов и зарядов, допускающие классическое описание. В этом случае состояние поля однозначно определяется следующими требованиями: во-первых, математическое ожидание каждой компоненты поля должно совпадать с классическим значением этой компоненты; во-вторых, число световых квантов с заданным импульсом и поляризацией должно распределяться вокруг своего среднего значения 𝑛0 (которое можно оценить на основе принципа соответствия) по закону распределения вероятности
𝑤(𝑛)
=
𝑛 𝑛0𝑒𝑛0
𝑛!
(12)
справедливому для независимых событий. Для флуктуаций поля в этом состоянии получается в результате простых вычислений как раз выражение (11). В силу особых свойств флуктуаций чёрного излучения оказывается далее, что и в общем случае поля заданного квантового состава добавление полей от каких-либо источников, допускающих классическое описание, не оказывает влияния на явления, связанные с флуктуациями.
Корень квадратный из выражения (11) может рассматриваться как некоторая критическая величина поля 𝔖 в том смысле, что при рассмотрении усреднённых значений поля мы можем отвлечься от его флуктуаций только в том случае, когда эти усреднённые значения оказываются значительно большими, чем 𝔖. Для суждения о возможности проверки аппарата теории в собственно квантовой области приходится вводить ещё и другую критическую величину поля 𝔄. Эта последняя равна корню квадратному из произведения (8) дополнительных неопределённостей в значениях поля, усреднённых по двум областям, перекрывающим друг друга только отчасти, а именно взаимно смещенных в пространстве и во времени на величины порядка 𝐿 и соответственно 𝑇. Для напряжённостей поля, значительно больших, чем 𝔄, мы возвращаемся, очевидно, к области применимости классической электромагнитной теории; в этой области все квантовые особенности аппарата теории теряют свое значение. Оценивая критические величины поля при помощи формул (8) и (11), мы приходим к выводу, что в случае 𝐿 ≤ 𝑐𝑇 обе величины, 𝔄 и 𝔖, оказываются одного порядка, а именно
𝔄
∼
𝔖
∼
√ℏ𝑐
𝐿⋅𝑐𝑇
.
(13)
В случае же 𝐿 > 𝑐𝑇 оказывается
𝔄
∼
⎧
⎪
⎩
ℏ
𝐿³𝑇
⎫½
⎪
⎭
; 𝔖
∼
√ℏ𝑐
𝐿²
.
(14)
Таким образом, в пределе, когда 𝐿 ≫ 𝑐𝑇 критическое значение поля 𝔄 будет гораздо больше, чем 𝔖, вследствие чего мы можем при проверке характерных выводов из аппарата теории в большой мере отвлечься от флуктуаций поля.
В дальнейшем мы будем сравнивать выводы, полученные в этом параграфе из аппарата квантовой электродинамики, с физическими возможностями измерения поля. Но прежде чем переходить к этому сравнению, мы хотели бы ещё подчеркнуть, что непротиворечивому толкованию этой теории никоим образом не препятствуют такие парадоксальные черты в её математической записи, как появление бесконечной нулевой энергии. В частности, этот последний парадокс (который, впрочем, может быть устранен 1 путём формального изменения в записи теории) не имеет прямого отношения к проблеме измеримости величины поля. В самом деле, определение электромагнитной энергии в заданной пространственно-временно́й области потребовало бы согласно теории поля знания компонент поля в каждой точке области; измерить же их в каждой точке невозможно. Физическое измерение энергии поля можно было бы осуществить только при помощи надлежащего механического приспособления, которое отделяло бы электромагнитные поля в заданной области пространства от остального поля так, чтобы энергию в этой области можно было бы потом измерить, применяя закон сохранения. Но подобное разделение полей вызвало бы вследствие взаимодействия с измерительным механизмом неподдающееся контролю изменение энергии поля в заданной области; наличие же такого изменения является существенным для разъяснения тех хорошо известных парадоксов, которые возникают при обсуждении флуктуаций энергии чёрного излучения 2.
1 См.: L. Rosenfeld, J. Solomon. Journ. d. Phys., 1931, 2, 139, а также: W. Pauli. Handbuch der Physik, 2-е изд., т. 24/1, 1933, стр. 255.
2 Cp.: W. Heisenberg. Leipziger Berichte, 1931, 83, 1.
