^𝑥𝑦

-

𝐵

_(II,I)

^𝑥𝑦

|.

⎫

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎭

(8)

Некоторые важные для нас результаты выводятся непосредственно из выражений (5) и (8). Прежде всего мы видим, что в силу свойства дельта-функции, выражаемого равенством (3), величины 𝐴^(I,II) и 𝐵^(I,II) при непрерывном смещении границ областей I и II меняются непрерывно, пока размеры этих областей, т. е. значения 𝑉_I, 𝑇_I, 𝑉_II, 𝑇_II остаются отличными от нуля. В частности, разности 𝐴^(I,II) - 𝐴^(II,I) и 𝐵^(I,II) - 𝐵^(II,I) обращаются непрерывным образом в нуль, когда границы обеих областей сливаются. Отсюда следует, что взятые по одной и той же пространственно-временно́й области средние значения всех компонент поля друг с другом коммутируют, так что должно быть возможно их точно измерить независимо друг от друга. Это следствие теории существенно шире предположения о неограниченной измеримости каждой компоненты поля в отдельности; его можно рассматривать как частный случай двух общих теорем, вытекающих из свойств симметрии величин 𝐴^(I,II) и 𝐵^(I,II). В самом деле, из того факта, что выражения 𝐴⁽¹²⁾ - 𝐴⁽²¹⁾ меняют свой знак при перестановке моментов времени 𝑡₁ и 𝑡₂ вытекает, что средние значения двух однотипных (т. е. двух электрических или двух магнитных) компонент поля, взятые по двум любым пространственным объёмам, всегда коммутируют, если только соответствующие промежутки времени совпадают. Подобно этому из антисимметрии выражений 𝐵⁽¹²⁾ - 𝐵⁽²¹⁾ при перестановке пространственных точек (𝑥₁, 𝑦₁, 𝑧₁) и (𝑥₂, 𝑦₂, 𝑧₂) следует далее, что средние значения двух разнотипных компонент (например, 𝕰_𝑥 и 𝕳_𝑦), взятые по двум произвольным промежуткам времени, коммутируют, если только совпадают соответствующие пространственные области.

Эти результаты могут на первый взгляд показаться несовместимыми с перестановочными соотношениями для поля, которые рассматриваются в цитированной книге Гейзенберга. Указанные соотношения выводятся из аппарата теории в форме Гейзенберга—Паули и относятся к средним значениям полевых величин, взятым по конечным пространственным областям для одного и того же момента времени. Что касается средних значений однотипных компонент, то они признаются коммутирующими и в книге Гейзенберга, относительно же разнотипных компонент там утверждается, что их средние значения, взятые по одной и той же пространственной области, не коммутируют. Решение этого противоречия состоит просто в том, что трактовка Гейзенберга соответствует предельному переходу, в котором две первоначально различные пространственно-временны́е области приводятся к совпадению следующим образом: сперва приводятся к одному и тому же моменту времени их временные протяженности, а затем уже приводятся к совпадению их пространственные протяженности (объёмы). Имея в виду, что выражение (2) для 𝐵⁽¹²⁾_𝑥𝑦 симметрично относительно 𝑡₁ и 𝑡₂, и используя свойство (3) дельта-функции, мы находим для совпадающих промежутков времени

𝐵

_(I,II)

^𝑥𝑦

-

𝐵

_(II,I)

^𝑥𝑦

=

2

𝑉_I𝑉_II𝑇²

∫

^𝑉_I

𝑑𝑣

₁

∫

^𝑉_II

𝑑𝑣

₂

∂

∂𝑧₁

⎧

⎪

⎩

1

𝑟

⎫

⎪

⎭

,

(9)

где положено 𝑇_I=𝑇_II=𝑇, а двойной интеграл взят по всем парам таких точек обоих объёмов, которые удалены друг от друга на расстояние 𝑟, меньшее, чем 𝑐𝑇 (пару точек образуют одна точка из первого и одна из второго объёма). Если мы теперь предположим, что оба объёма одинаковы по величине (равной 𝑉_I=𝑉_II=𝑉) и одинаковы по форме, но только смещены друг относительно друга в направлении оси 𝑧, то в предельном случае, когда можно считать 𝑐𝑇 исчезающе малым по сравнению с линейными размерами объёмов, мы можем вычислить входящий в (9) объёмный интеграл. После интегрирования по частям мы получим для него выражение вида ±2π𝑐²𝑇²𝐹, где 𝐹 — некоторая площадь, для вычисления которой нужно спроектировать кривую пересечения поверхностей, ограничивающих области 𝑉_I и 𝑉_II, на плоскость 𝑥𝑦 и взять площадь, ограниченную этой проекцией; эта площадь и будет равна 𝐹. Знак в приведённом выше выражении берётся в зависимости от направления смещения по оси 𝑧 области II по отношению к области I (а именно, знак плюс при положительном и знак минус при отрицательном смещении). Таким образом, если оба объёма смещаются непрерывным образом один сквозь другой, то разность 𝐵^(I,II)_𝑥𝑦 - 𝐵^(II,I)_𝑥𝑦 терпит разрыв, равный 8π𝑐𝐹/𝑉² » причём оба выражения 𝐵^(I,II)_𝑥𝑦 и 𝐵^(II,I)_𝑥𝑦 меняют свой знак. Поэтому в рассмотренном предельном случае перестановочное соотношение для мгновенных значений пространственных средних от 𝕰_𝑥 и 𝕳_𝑦 оказывается существенно неоднозначным, чем и разъясняется упомянутое выше кажущееся противоречие.

В прежних исследованиях физических возможностей измерения был получен вывод, будто бы существуют ограничения дополнительного характера для измеримости разнотипных компонент поля внутри одного и того же пространственного объёма. Этот вывод основан, однако, на том, что в качестве пробных тел используются точечные заряды, в результате чего становится невозможным достаточно резко ограничить область измерения. Как мы уже подчёркивали, для проверки аппарата квантовой электродинамики допустимы лишь измерения с пробными телами конечных размеров, внутри которых распределен заряд; это следует из того, что всякое однозначным образом вытекающее из этого аппарата утверждение относится к средним значениям компонент поля, взятым по конечным областям пространства-времени. Последнее же обстоятельство никоим образом не препятствует тому, чтобы проверять путём измерений поля все однозначные следствия из теории Гейзенберга—Паули, относящиеся к зависимости от времени усреднённых по пространству значений компонент поля. Для этого достаточно производить усреднение по таким областям, чтобы их временная протяженность 𝑇 (умноженная на 𝑐) была достаточно мала по сравнению с их линейными размерами, порядок величины которых мы будем впредь обозначать через 𝐿.

Именно случай 𝐿 > 𝑐𝑇 особенно пригоден для подробной проверки тех следствий, к каким приводит аппарат теории в собственно квантовой области. Противоположный случай 𝐿 ≤ 𝑐𝑇 не представляет интереса даже в пределах применимости классической теории. Дело в том, что все имеющиеся внутри объёма 𝑉 особенности волновых полей почти полностью выравниваются при усреднении, если учитывать распространение волны за время 𝑇. В квантовой области к этому выравниванию присоединяются ещё характерные флуктуационные явления, вытекающие из принципиально статистического характера теории. Как мы увидим, в случае 𝐿 ≤ 𝑐𝑇 эти флуктуации существенно входят в решения рассматриваемых задач, в случае же 𝐿 > 𝑐𝑇 они играют сравнительно малую роль.

Упомянутые выше флуктуации теснейшим образом связаны с невозможностью наглядно иллюстрировать на основе классических понятий характерное для квантовой теории поля представление о световых квантах. В частности, они выражают взаимно исключающее положение между точным знанием квантового состава электромагнитного поля и знанием среднего значения какой-либо его компоненты, взятого по определённой пространственно-временно́й области. Рассмотрим световые кванты с определённым параметром поляризации 𝑖 и с заданным импульсом и энергией ℏϰ_𝑥, ℏϰ_𝑦, ℏϰ_𝑧 и ℏν=ℏ𝑐√ϰ²_𝑥 + ϰ²_𝑦 + ϰ²_𝑧. Если мы даже будем считать известной плотность световых квантов ω_𝑖(ϰ_𝑥, ϰ_𝑦, ϰ_𝑧), то хотя математические ожидания всех средних значений поля будут равны нулю, но математическое ожидание квадрата флуктуации будет для всякой компоненты поля [например, для компоненты 𝕰^(G)_𝑥 определяемой по формуле (4)] выражаться легко выводимой формулой