δ(𝑡-𝑡
0
)
𝑑𝑡
=
⎧
⎨
⎩
1 при 𝑡' < 𝑡0 < 𝑡'',
0 при 𝑡0 < 𝑡' или 𝑡0 > 𝑡''.
⎫
⎬
⎭
(3)
Эта функция дифференцируется формально как обычная функция.
Появление в перестановочных соотношениях (1) дельта-функции, определяемой формулой (3), связано с тем уже упоминавшимся выше обстоятельством, что в квантовой теории поля величины поля не могут рассматриваться просто как функции точки; однозначный смысл имеют лишь интегралы от компонент поля, взятые по пространственно-временно́й области. Имея в виду простейшую возможность проверить математический аппарат, мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением средних значений компонент поля, взятых по односвязной пространственно-временно́й области 𝐺, пространственная часть которой остаётся в течение некоторого промежутка времени постоянной. Обозначая через 𝑉 объём этой пространственной части и через 𝑇 соответствующий промежуток времени, мы можем дать, например, для среднего по 𝐺 значения 𝕰𝑥 следующее определение:
𝕰
(𝐺)
𝑥
=
1
𝑉𝑅
∫
𝑅
𝑑𝑡
∫
𝑉
𝕰
𝑥
𝑑𝑣
.
(4)
Для определяемых таким образом средних значений двух составляющих поля, взятых по двум заданным пространственно-временны́м областям I и II, имеют место перестановочные соотношения, которые легко получаются из (1) путём интегрирования по обеим областям и деления на произведение четырёхмерных протяженностей этих областей. При этом значения скобок [𝕰(I)𝑥, 𝕰(II)𝑥] и т. д. прямо получаются из формул (1), если в этих формулах заменить величины 𝐴(12), 𝐵(12) их средними значениями по обеим областям, а именно
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
=
-
1
𝑉I𝑉II𝑇I𝑇II
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
∫
𝑇II
𝑑𝑡
2
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑉II
𝑑𝑣
2
×
×
⎧
⎪
⎩
∂2
∂𝑥1∂𝑥2
-
1
𝑐2
∂2
∂𝑡1∂𝑡2
⎫
⎪
⎭
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
-𝑡
1
-
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
,
𝐴
(I,II)
𝑥𝑦
=
-
1
𝑉I𝑉II𝑇I𝑇II
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
∫
𝑇II
𝑑𝑡
2
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑉II
𝑑𝑣
2
×
×
∂2
∂𝑥1∂𝑦2
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
-𝑡
1
-
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
,
𝐵
(I,II)
𝑥𝑦
=
-
1
𝑉I𝑉II𝑇I𝑇II
∫
𝑇I
𝑑𝑡
1
∫
𝑇II
𝑑𝑡
2
∫
𝑉I
𝑑𝑣
1
∫
𝑉II
𝑑𝑣
2
×
×
1
𝑐
∂2
∂𝑡1∂𝑧2
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
-𝑡
1
-
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(5)
Как известно, лежащее в основе принципа неопределённости соотношение Гейзенберга
Δ𝑝
Δ
𝑞
∼
ℏ
(6)
для двух канонически сопряженных механических величин выводится из общих перестановочных соотношений квантовой механики
[𝑞,𝑝]
=
-√
-1
ℏ
(7)
Совершенно так же для произведения дополнительных неопределённостей в рассматриваемых средних значениях поля получаются следующие типичные формулы:
Δ
𝕰
(I)
𝑥
Δ
𝕰
(II)
𝑥
∼
ℏ|
𝐴
(I,II)
𝑥𝑥
-
𝐴
(II,I)
𝑥𝑥
|,
Δ
𝕰
(I)
𝑥
Δ
𝕰
(II)
𝑦
∼
ℏ|
𝐴
(I,II)
𝑥𝑦
-
𝐴
(II,I)
𝑥𝑦
|,
Δ
𝕰
(I)
𝑥
Δ
𝕳
(II)
𝑥
=
0,
Δ
𝕰
(I)
𝑥
Δ
𝕳
(II)
𝑦
∼
ℏ|
𝐵
(I,II)
