Отправной точкой квантовой электродинамики являлась разработанная Дираком квантовая теория излучения, характеризуемая введением некоммутирующих канонически сопряженных амплитуд колебаний излучательного поля; эта некоммутативность связана с перестановочными соотношениями квантовой механики. На основе этой теории были установлены перестановочные соотношения между компонентами электромагнитного поля; это было сделано сперва Иорданом и Паули для случая отсутствия зарядов, а затем в работе Гейзенберга и Паули было учтено при помощи принципа соответствия взаимодействие между полем и материальными носителями зарядов, благодаря чему аппарат теории достиг известного завершения. Последовательное применение теории к атомным проблемам наталкивается, однако, на существенные затруднения из-за того, что здесь возникают известные парадоксы, связанные с собственной энергией элементарных частиц. Эти парадоксы не были устранены и тем видоизменением математического аппарата, которое было предложено Дираком 1. Но для нашего исследования ограничений измеримости полевых величин эти затруднения не играют роли в силу того, что для целей нашего исследования атомистическое строение материи не является существенным. Хотя измерение полей и требует применения материальных заряженных пробных тел, однозначность результатов применения их как измерительных приборов всё же достигается постольку, поскольку мы можем пользоваться классической электродинамикой как при учёте воздействия полей на пробные тела, так и при учёте их влияния как источников поля.
1 Ср.: L. Rоsеnfеld. Zs. f. Phys., 1932, 76, 729.
При таком положении вещей мы можем оставаться в пределах теории поля в собственном смысле, и при изучении следствий из квантовой электродинамики, относящихся к измеримости полевых величин, мы можем исходить прямо из перестановочных соотношений для полей без зарядов. Используя обычные обозначения [𝑝,𝑞] = 𝑝𝑞-𝑞𝑝, мы будем тогда иметь следующие соотношения 1 между компонентами поля в двух пространственно-временны́х точках (𝑥1,𝑦1,𝑧1,𝑡1) и (𝑥2,𝑦2,𝑧2,𝑡2):
[𝕰
(1)
𝑥
,
𝕰
(2)
𝑥
]
=
[𝕳
(1)
𝑥
,
𝕳
(2)
𝑥
]
=
√
-1
ℏ
(𝐴
(12)
𝑥𝑥
-𝐴
(21)
𝑥𝑥
),
[𝕰
(1)
𝑥
,
𝕰
(2)
𝑦
]
=
[𝕳
(1)
𝑥
,
𝕳
(2)
𝑦
]
=
√
-1
ℏ
(𝐴
(12)
𝑥𝑦
-𝐴
(21)
𝑥𝑦
),
[𝕰
(1)
𝑥
,
𝕳
(2)
𝑥
]
=
0,
[𝕰
(1)
𝑥
,
𝕳
(2)
𝑦
]
=
-[𝕳
(1)
𝑥
,
𝕰
(2)
𝑦
]
=
√
-1
ℏ
(𝐵
(12)
𝑥𝑦
-𝐵
(21)
𝑥𝑦
),
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(1)
Здесь выписаны только типичные соотношения для некоторых компонент; остальные получаются из них циклической перестановкой.
1 Ср.: Jordan, W. Pauli. Zs. f. Phys., 1928, 47, 151, а также: W. Heisenberg, W. Pauli. Zs. f. Phys., 1929, 56, 33. Если отвлечься от несущественного отличия в знаке, происходящего от иного выбора направления времени в разложении Фурье для поля, приведённые здесь формулы совпадают по своему смыслу с теми, какие выведены в цитированных работах. В частности, используемое здесь написание, в котором все члены представлены как запаздывающие, означает чисто формальное изменение, введённое с целью сделать возможно более наглядным толкование проблем измерения.
В этих соотношениях символы 𝕰(1)𝑥, 𝕰(1)𝑦, 𝕰(1)𝑧, 𝕳(1)𝑥, 𝕳(1)𝑦, 𝕳(1)𝑧 означают значения компонент электрического и магнитного поля в пространственно-временно́й точке (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1, 𝑡1); в соотношениях использованы также сокращенные обозначения
𝐴
(12)
𝑥𝑥
=
-
⎧
⎪
⎩
∂2
∂𝑥1∂𝑥2
-
1
𝑐2
∂2
∂𝑡1∂𝑡2
⎫
⎪
⎭
×
×
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
-𝑡
1
-
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
,
𝐴
(12)
𝑥𝑦
=
-
∂2
∂𝑥1∂𝑦2
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
-𝑡
1
-
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
,
𝐵
(12)
𝑥𝑦
=
-
1
𝑐
∂2
∂𝑡1∂𝑧2
⎧
⎨
⎩
1
𝑟
δ
⎧
⎪
⎩
𝑡
2
-𝑡
1
-
𝑟
𝑐
⎫
⎪
⎭
⎫
⎬
⎭
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(2)
Далее, ℏ обозначает делённую на 2π постоянную Планка, 𝑐 — скорость света и 𝑟 — пространственное расстояние между двумя точками. Наконец, δ обозначает введённую Дираком несобственную функцию, определяемую, как известно, соотношением
𝑡''
∫
𝑡'
