1 См.: N. Bohr. Atomtheorie und Naturbeschreibung. Berlin, Springer, 1931. Этот вопрос рассмотрен автором подробнее в его венском докладе, который вскоре выйдет в свет. Там подробно рассматриваются также парадоксы, возникающие при интерпретации соотношения неопределённости с учётом теории относительности.
Во всяком описании остаётся некоторая неопределённость во времени Δ𝑡. Напомним, что согласно соотношению неопределённости величина Δ𝑡 связана с неопределённостью Δ𝐸 в величине энергии, которой обменялись во время соударения пробное тело и тело, воспринимающее удар, соотношением
Δ𝐸
⋅
Δ
𝑡
∼
ℏ
.
(27)
Так как для обоих тел между энергией и компонентами количества движения (импульса) и скорости имеет место соотношение
𝑑𝐸
=
𝑣
𝑥
𝑑𝑝
𝑥
,
(28)
то из предыдущего уравнения непосредственно следует, что
Δ𝑝
𝑥
|
𝑣
''
𝑥
-
𝑣
'
𝑥
|
Δ
𝑡
∼
ℏ
.
(29)
Для достаточно тяжёлого пробного тела входящее сюда изменение |𝑣''𝑥 - 𝑣'𝑥| его скорости при измерении импульса может считаться известным сколь угодно точно (мы об этом говорили выше). Но и тогда множитель
|
𝑣
''
𝑥
-
𝑣
'
𝑥
|
Δ
𝑡
=
Δ
𝑥
(30)
означает, очевидно, допуск в положении тела относительно фиксированной системы отсчёта, что находится в полном соответствии с соотношениями неопределённости (16). Из формулы (30) непосредственно вытекает условие
Δ𝑥
<
𝑐
Δ
𝑡
,
(31)
которое вместе с (16) даёт абсолютный нижний предел неточности Δ𝑝𝑥 при измерении импульса за промежуток времени с верхним пределом Δ𝑡 Но ввиду релятивистской инвариантности соотношений (16) и (27), а также (28) это обстоятельство не налагает каких-либо ограничений на формулировку и применимость принципа неопределённости. К тому же в нашей задаче допустимо при рассмотрении механической стороны вопроса пренебрегать всякими поправками на теорию относительности. В самом деле, если пользоваться достаточно тяжёлыми пробными телами, всегда окажется возможным устроить так, чтобы в течение всего процесса измерения скорости всех пробных тел оставались малыми по сравнению со скоростью света. Поэтому мы можем даже всегда рассматривать смещения Δ𝑥 при измерениях импульса как малые величины по сравнению с соответствующим значением 𝑐Δ𝑡 которое и само может быть сделано сколь угодно малым.
Возможность измерить полный импульс протяженного тела в течение наперёд заданного промежутка времени и с требуемой точностью, выражаемой формулами (16), обусловлена именно тем, что служащий для измерения импульса процесс может быть точно прослежен относительно данной пространственно-временно́й системы отсчёта. Так, полный импульс используемой в качестве пробного тела системы заряженных тел, его составляющей, может быть определён посредством одного-единственного столкновения. Для этого тело, воспринимающее удар, должно иметь особую конструкцию: оно должно приходить в соприкосновение со всеми частями пробного тела и каждой из них сообщать одинаковое ускорение в одно и то же время. Конечно, такое устройство предъявляет конструкции пробных тел и тела, воспринимающего удар, обширные требования, которые, однако, в принципе выполнимы, если только пренебрегать атомной структурой тел.
Рассматриваемое измерение полного импульса пробного тела можно, по-видимому, проще всего осуществить оптическим путём, если использовать эффект Допплера, например, следующим образом. Представим себе, что каждая составная часть пробного тела снабжена маленьким зеркалом, перпендикулярным направлению оси 𝑥 представим себе также ряд других зеркал, закреплённых так, чтобы длина светового пути от источника излучения до каждой из составных частей пробного тела была одной и той же. С помощью надлежащего приспособления можно запустить пучок света длительности Δ𝑡, содержащий достаточно большое число световых квантов (это число должно быть весьма велико по сравнению с числом составных частей пробного тела). Тогда все эти составные части одновременно получат толчок и испытают ускорение, которое можно с заданной точностью считать одинаковым.
Покажем, что при помощи такого приспособления можно в самом деле определить полный импульс пробного тела с точностью, допускаемой соотношением (16). Для этого необходимо несколько подробнее рассмотреть взаимодействие между системой, составляющей пробное тело, и световым пучком. При упомянутом выше предположении о том, что скорость пробного тела мала по сравнению со скоростью света, мы получим для каждой из его составных частей
𝑚
τ
(
𝑣
''
τ,𝑥
-
𝑣
'
τ,𝑥
)=
ℏ
𝑐
∑
𝑛τ
(ν'+ν'')
,
1
2
𝑚
τ
(
𝑣
''
τ,𝑥
-
𝑣
''
τ,𝑥
)=
ℏ
∑
𝑛τ
(ν'+ν'')
.
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(32)
Здесь 𝑚τ — масса составной части, 𝑣'τ,𝑥 и 𝑣''τ,𝑥 — её скорости до и после отражения света, а суммирование распространяется на все отражённые от данной составной части световые кванты (числа 𝑛τ) с угловыми частотами ν' до и ν'' после отражения (угловая частота равна 2π, делённому на период). Значение до и после столкновения компоненты импульса данной составной части будет согласно (32) равно
𝑝
'
τ,𝑥
=
𝑚
τ
𝑣
'
τ,𝑥
=
𝑚
τ
𝑐
∑ (ν'-ν'') 𝑛τ
∑ (ν'+ν'') 𝑛τ
-
1
2
ℏ
𝑐
∑
𝑛τ
(ν'+ν'')
𝑝
''
τ,𝑥
=
𝑚
τ
𝑣
'
τ,𝑥
=
𝑚
τ
𝑐
∑ (ν'-ν'') 𝑛τ
∑ (ν'+ν'') 𝑛τ
+
1
2
ℏ
𝑐
∑
𝑛τ
(ν'+ν'')
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(33)
Предположим теперь, что средняя спектральная частота ν0 светового пучка весьма велика как по сравнению со средним отклонением (Δ𝑡)-1 в распределении частот, так и по сравнению со всеми изменениями частот ν'-ν'' Тогда мы можем с достаточным приближением положить происшедшие в результате удара изменения скорости каждой из составных частей тела равными
