𝒫

=

𝑎²

𝑑Ω

4π

𝑑ω

ω

λ²

4π²

,

(16.3.5)

задающий вероятность испускания гравитона при одном распаде. Множитель λ² делает эту вероятность предельно малой, настолько малой, что шансы весьма и весьма велики против того, чтобы был зарегистрирован измеряемый отскок в камере Вильсона, в водородной пузырьковой камере или соответствующее событие в искровой камере. Множитель с обратной зависимостью от энергии 1/ω приводит к тому, что эта величина очень велика при экстремально малых значениях энергии гравитона; тем не менее, этот факт почти не относится к делу, так как величина λ²/ω становится близкой к 1 только при значениях энергии настолько низких, что длина волны гравитона должна была бы превосходить радиус вселенной на некоторый множитель, такой как 10³⁹.

Хотя мы разрабатывали теорию, предполагающую наличие скалярных частиц, в низкоэнергетическом пределе ответ оказывается тем же самым вне зависимости от того, какой может быть спин частиц. Это происходит потому, что в низкоэнергетическом пределе к делу относятся только массовые токи и движение масс. В нашем ответе, конечно, имеется инфракрасная расходимость, так что вероятность испускания гравитона (если его энергия не относится к нашему рассмотрению) оказывается бесконечно большой. Это беспокойство является не более серьёзным, чем инфракрасная расходимость для излучения низкоэнергетических фотонов, и эти проблемы могут быть устранены теми же самыми трюками, как и в низкочастотном ”тормозном излучении.”

16.4. Излучение гравитонов при рассеянии частиц

Рис. 16.5.

Мягкий гравитон может быть испущен, когда две частицы рассеиваются при любом процессе, включающим в себя обмен гравитоном. Диаграммы первого порядка, которые описывают такие процессы, показаны на рис. 16.5. В низкоэнергетическом пределе важны только диаграммы типа (а), которые являются такими диаграммами, где вершина гравитона соединена со свободной частицей. Процессы, описываемые двумя другими диаграммами, являются много менее вероятными, если импульс гравитона много меньше, чем перенос импульса 𝑞. в диаграмме (б), например, почти нет свободной частицы, которая бы двигалась, отсюда следует, что нет малого знаменателя. В диаграмме (в) второй пропагатор есть величина порядка 1/(𝑞-𝑘)²≈1/𝑞². Насколько мы интересуемся излучением, точная природа процессов общего рассеяния не важна. Я подчёркиваю это последнее утверждение, потому что всегда найдутся какие-нибудь теоретики, которые постоянно приводят какие-то мистические аргументы, для того чтобы утверждать, что излучение не происходит, если рассеяние является гравитационным - нет оснований для таких утверждений; что касается этого вопроса, излучение гравитационных волн является настолько реальным, насколько это возможно; вращение в системе Солнце — Земля может быть источником гравитационных волн. На самом деле, в этом разделе мы, возможно, должны ограничить наши размышления рассеяниями частиц; для движений таких больших объектов, как планеты или звёзды, может быть более последовательно работать в классическом пределе. Гравитация не всегда является пренебрежимо слабой, это происходит только в процессах атомных столкновений.

Структура четырёх амплитуд, соответствующих диаграммам, таким как показанные на рис. 16.5(a), является такой же, как и при распадах частиц. Если мы описываем поляризацию гравитона тензором 𝑒, то полная амплитуда пропорциональна амплитуде рассеяния в отсутствии гравитона, некоторым энергетическим множителям и величине

𝑎

∑

𝑖

(-)

_𝑖

𝑝⋅𝑒⋅^𝑖𝑣

1-^𝑖𝑣 cos θ

.

(16.4.1)

Знаменатель представляет собой произведение ^𝑖𝑝⋅𝑘=𝐸ω-𝒑⋅𝒌 когда значения энергии 𝐸 и ω вынесены в качестве множителей. Так как 𝒑=𝐸𝒗 верхние индексы 𝑖 относятся к каждой из четырёх частичных ветвей в столкновении. Числитель содержит свёрнутое произведение тензора поляризации 𝑒_μν с двумя импульсами (до и после) частицы, с которой он связан, это единственный физический тензор тензор второго порядка, который может быть построен для скалярной частицы.

Ответы, которые мы получили, являются весьма близкими к тем, что имеют место при испускании фотона; существенное различие состоит в том, что взаимодействие в электромагнетизме осуществляется вектором, в то время как в гравитации тензором. Для быстро движущейся частицы 𝑣≈𝑐, так что знаменатель в соотношении (16.4.1) может быть очень мал и амплитуда может становиться очень большой вблизи θ≈0. С другой стороны, тензор поляризации всегда поперечен к импульсу гравитона. В электромагнетизме вектор поляризации также поперечен импульсу фотона; существует только одно скалярное произведение в числителе, так что когда величина θ мала и 𝑣≈𝑐,

𝑎

_e.m

→

𝑝⋅𝑒

1-𝑣 cos θ

∝

sin θ

1-cos θ

≈

2

θ

.

(16.4.2)

Рис. 16.6.

Излучение фотона может быть очень большим для малых углов. На самом деле взрыва не происходит, поскольку величина 𝑣. никогда не бывает в точности равной 𝑐. Диаграмма направленности, соответствующая одиночной частице, имеет две полости, как показано на рис. 16.6. В гравитации взаимодействие осуществляется тензорным полем и таким образом является вдвойне трансверсальным; в пределе θ→0 и 𝑣=1,

𝑎

_g

→

𝑝⋅𝑒⋅𝑝

1-𝑣 cos θ

∝

sin²θ

1-𝑣 cos θ

≈

2,

(16.4.3)

так что диаграмма направленности не направлена строго вперёд, но в целом более однородна по сравнению с электромагнетизмом (рис. 16.6 (б)). Это различие может быть замечено интуитивно, будучи следствием того факта, что при формировании излучения спин два требует больше ”трансверсальности”, чем спин, равный единице.

Имеется одна амплитуда с угловой структурой такой же, как и на рис. 16.6(б), в окрестности каждого из четырёх направлений частиц в задаче рассеяния. Интенсивность испускания гравитона является квадратом суммы четырёх амплитуд, так что в общем случае это выражение выглядит достаточно симметричным образом.

Для медленно движущихся частиц 𝑣≪𝑐 знаменатель не играет существенной роли, и диаграмма направленности определяется исключительно числителем. Эта величина может быть выражена как свёрнутое произведение двух тензоров

∑

𝑖

(-)

_𝑖

^𝑖

𝑝

⋅𝑒⋅

^𝑖

𝑣

=

𝑒

^αβ

𝑆

_αβ

,

α,β

=

𝑥,𝑦,𝑧

,

𝑆

_αβ

=

∑

𝑖

(-)

_𝑖

𝑝

_α

𝑣

_β

.

(16.4.4)

Характер излучения полностью определяется тензором 𝑆_αβ, который представляет давление, производимое при столкновении. Мы узнаем, что форма этого выражения в точности аналогична форме давления в движущейся жидкости

Давление

=

ρ𝑣

_α

𝑣

_β

, (

ρ

= плотность массы).