(16.4.5)
Если мы имеем столкновение между двумя частицами, давление 𝑆αβ имеет простое выражение на языке средних скоростей (до и после) сталкивающихся частиц. Мы положим передачу импульса равной 𝑄=𝑝₂-𝑝₁=-𝑝₄+𝑝₃ (см. рис. 16.5). Запишем средние скорости
𝑣
=
𝑝₂+𝑝₁
2𝑚
,
𝑣'
=
𝑝₃+𝑝₄
2𝑚'
(16.4.6)
На языке этих комбинаций может быть легко показано после соответствующей симметризации, что
𝑆
αβ
=
2(𝑣'-𝑡)
α
𝑄
β
.
(16.4.7)
С помощью этой формулы мы можем теперь ответить на интересный вопрос: при столкновении между лёгкой и тяжёлой частицами, какая из них даёт наибольший вклад в излучение? Приведённая формула говорит нам, что если 𝑣'≪𝑣 излучение зависит только от 𝑣. При рассмотрении излучения от скользящих столкновений очень лёгкой частицы с массивным объектом, мы теперь знаем наверняка, что разрешено рассматривать массивную частицу, как всегда находящуюся в покое. Это правило работает при условии, что ускорение почти перпендикулярно скорости так, что 𝑸⋅𝒗≈0.
Эта формула применяется здесь и для упругих, и для неупругих столкновений, которые могут оставлять одну или обе массы в возбуждённом состоянии.
16.5. Источники классических гравитационных волн
Теперь мы переходим к описанию классического гравитационного излучения. Так же, каик в квантово-механическом случае, мы найдём, что излучателем гравитационных волн также является давление. Исходная точка в нашем обсуждении есть дифференциальное уравнение
□
ℎ
μν
=
λ𝑆
μν
.
(16.5.1)
Это решение продолжается в точности также, как и в электродинамике, для решений векторных потенциалов, создаваемых произвольными токами. Если мы предполагаем гармоническое изменение от времени, такое как exp(-𝑖ω𝑡) для всех величин, то векторный потенциал задаётся соотношением:
𝐴
μ
(1)
=
∫
𝑑𝑉₂
𝑗μ(2)⋅exp(𝑖ω𝑟₁₂)
4π𝑟₁₂
,
(16.5.2)
где индексы 1 и 2 относятся к различным пространственным положениям; (1) есть место, в котором мы вычисляем потенциалы 𝐴μ, (2) есть места, где находятся токи, и 𝑟₁₂ - расстояние между этими точками. Один из наиболее простейших случаев излучения соответствует осциллирующему диполю такому, что токи ограничиваются небольшой областью пространства. Довольно непосредственными выкладками проводим вычисления пространственных компонент 𝐴𝑥, 𝐴𝑦, 𝐴𝑧 ; временной компонент или скалярный потенциал наиболее легко получается из дивергентного условия на 𝐴μ
𝐴
μ
,μ
=
0
→
𝑖ω𝐴
𝑡
=
∇⋅𝑨
.
(16.5.3)
Эта ситуация в точности аналогична той, которая имеет место в гравитации. Временные части полей ℎμν наиболее легко получаются из дивергентных условий после вычислений пространственных частей по следующему правилу:
ℎ
μν
(1)
=-
λ
4π
∫
𝑑𝑉₂
𝑆
μν
(2)
exp(𝑖ω𝑟₁₂)
𝑟₁₂
.
(16.5.4)
Рис. 16.7.
Для того, чтобы вычислить такие величины, как мощность излучаемых гравитационных волн, мы рассмотрим точку (1), расположенную достаточно далеко от системы, на некотором расстоянии, которое много больше, чем размеры области, где, как ожидается, величина 𝑆μν(2) является достаточно большой, как это показано на рис. 16.7. Мы можем разложить расстояние 𝑟₁₂, как степенные ряды от радиальных расстояний точек (1) и (2) от некоторого начала координат вблизи точки (2), и мы находим, что
𝑟₁₂
=
⎛
⎝
𝑟
2
1
+
𝑟
2
2
-
2𝑟₁𝑟₂
cos θ
⎞½
⎠
=
𝑟₁
⎛
⎜
⎝
1
-
2𝑟₂
𝑟₁
cos θ
+…
⎞½
⎟
⎠
≈
≈
𝑟₁
-
𝑟₂
cos θ
+… ,
(16.5.5)
когда 𝑟₂≪𝑟₁ Здесь cos θ - косинус угла между векторами 𝑟₂ и 𝑟₁. Так как любые волны, наблюдаемые в точке (1), будут иметь вектор импульса, направленный вдоль 𝑟₁, мы получаем следующее выражение для ℎμν(1)
ℎ
μν
(1)
=-
λ
4π𝑟₁
exp(𝑖ω𝑟₁)
∫
𝑑³𝑟₂
𝑆
μν
(2)
exp(-𝑖𝑲⋅𝒓₂)
.
(16.5.6)
Интеграл, появляющийся в соотношении (16.5.6), теперь не зависит от точки (1), мы видим, что тензор давления 𝑆μν(2) является источником сферических волн.
В случае электромагнетизма наипростейшие случаи излучения часто соответствуют дипольному приближению, которое представляет собой первый ненулевой член в последовательности интегралов, соответствующих разложению экспоненты. Поскольку источник гравитационных волн является тензором вместо того, чтобы быть вектором (как в случае электромагнетизма), первый ненулевой член в гравитации имеет квадрупольный характер. Использование этого разложения оказывается оправданным, если частоты такие, что 𝑲⋅𝒓₂ много меньше, чем 1, в области, где величина 𝑆μν оказывается значимой. Для всех вращающихся масс таких, как двойные звёзды или системы типа звезда - планета, периоды движения (скажем, ~ 1 год для системы Земля - Солнце) много больше, чем время, которое требуется гравитации для того, чтобы пройти расстояние порядка размера системы (~ 16 минут для системы Земля - Солнце), так что члены разложения очень быстро становятся всё меньше и меньше. Таким образом, почти во всех случаях, представляющих астрономический интерес, длины волн много больше, чем размеры объекта. Результат состоит в том, что поля ℎμν пропорциональны интегралам поперечных давлений (полное поперечное давление)
ℎ
𝑎𝑏
=-
λ
exp(𝑖ω𝑟)
4π𝑅
𝑆
𝑎𝑏
, где
𝑆
𝑎𝑏
=
∫
𝑆
𝑎𝑏
(𝑟)
.
(16.5.7)
Значения давления в направлении вдоль волнового вектора не относятся к делу. Любое качественное правило, которое полезно в электромагнетизме, целиком переносится в гравитацию.
Какова мощность, испускаемая такой волной? Существует огромное количество специалистов, которые в силу многолетнего предрассудка, что гравитация является чем-то таинственным и отличным от всего остального, напрасно обеспокоены этим вопросом; они считают, что гравитационные волны не переносят энергии совсем. Мы можем определённо показать, что гравитационные волны могут на самом деле нагреть стенку, так что нет вопроса об энергосодержании в гравитационных волнах. Эта ситуация в точности аналогична той, которая имеет место в электромагнетизме, и в квантовой интерпретации каждый испускаемый гравитон уносит величину энергии ℏω.
