Будем использовать следующее стандартное обозначение для трёх тензоров, выведенных из нашего тензора 𝑅τμνρ, умножением на тензор 𝑔αβ и свёртыванием:
𝑔
τσ
𝑅
τ
μνρ
=
Антисимметричен по индексам
(σμ)
и
(νρ)
,
𝑅
τ
μντ
=
𝑅
μν
,
𝑔
μν
𝑅
μν
=
𝑅.
(6.5.1)
Величина 𝑅σμνρ есть тензор (тензор Римана). Он антисимметричен при перемене индексов ν и ρ, также антисимметричен при перемене σ и μ и симметричен, если пара (σμ) меняется с (νρ). 𝑅μν (тензор Риччи) - симметричен.
Вариация функционала 𝐹, описываемого соотношением (6.4.8), по отношению к 𝑔μν приводит к следующему соотношению:
2
δ𝐹
δ𝑔μν
=-
1
λ²
δ(√-𝑔𝑅)
δ𝑔μν
=-
1
λ²
√
-𝑔
⎛
⎜
⎝
𝑅
μν
-
1
2
𝑔
μν
𝑅
⎞
⎟
⎠
,
(6.5.2)
где 𝑔≡Det 𝑔μν. Последняя величина в соотношении (6.5.2) есть тензор энергии-импульса нашей теории (см. соотношение (6.2.2)) и удовлетворяет следующему соотношению
𝑔
σλ
𝑇
λν
,ν
=-
[μν,σ]
𝑇
μν
(или
𝑇
λν
,ν
=-
Γ
λ
μν
𝑇
μν
),
(6.5.3)
если сделана замена 𝑇μν как мы требовали это сделать. Отсюда следует, что полные уравнения гравитационного поля, правильные во всех порядках, являются следующими:
√
-𝑔
⎛
⎜
⎝
𝑅
μν
-
1
2
𝑔
μν
𝑅
⎞
⎟
⎠
=
λ²
𝑇
μν
,
(6.5.4)
где 𝑇μν - наш тензор энергии вещества. Это уравнение и есть уравнение, полученное Эйнштейном.
Лекция 7
7.1 Принцип эквивалентности
В наших нынешних планах будет описание относительности и гравитации с точки зрения, которая в большей степени находится в согласии с подходом Эйнштейна. Мы надеемся, что, рассматривая теорию с различных выгодных точек зрения, мы лучше поймём теорию в целом. Теория гравитации, как она рассматривалась в рамках идей Эйнштейна, есть нечто настолько удивительно волнующее, что мы будем испытывать искушение попытаться сделать так, чтобы все остальные поля выглядели как гравитация, что является пожалуй предпочтительнее, чем продолжать исследование гравитации с венерианского направления, делающего гравитацию похожей на другие поля, которые нам привычны. Мы будем сопротивляться этому искушению.
Истоки подхода Эйнштейна должны быть найдены в физике, известной во время создания им теории гравитации, в электродинамике и ньютоновской механике. Чувствуется, что идея, преобладающая в мыслях Эйнштейна во время создания им его теорий, заключалась в том, что все разделы физики должны были бы быть согласованы; он нашёл путь, чтобы уладить лоренц-инвариантность классической электродинамики с видимой галилеевой инвариантностью ньютоновской механики, и много новых физических результатов было достигнуто после этого. Аналогично, именно загадочный феномен гравитации привёл Эйнштейна к теории гравитации, когда он преобразовал этот феномен в физический принцип.
Центральная идея гравитации, наиболее убедительный факт о том, как она действует, состоит в том, что вес и масса в точности пропорциональны, так что все объекты ускоряются гравитацией в точности с одной и той же скоростью независимо от состава вещества, из которого состоят эти тела. Эксперимент Этвеша показал, как центробежная сила добавляется к гравитационной силе так, что результат неотличим от чисто гравитационного эффекта. Возможно такие эксперименты навели Эйнштейна на мысль о том, что может быть такой физический принцип, который заставляет ускорения имитировать гравитацию во всех отношениях. Совершенно очевидно, что механические эксперименты, проводимые внутри ускоряющегося ящика, дают результаты, которые неотличимы от результатов, которые могли бы быть получены в том случае, если ящик находился в покое, но имелось бы гравитационного поле. Во времена Эйнштейна не было прямых проверок этого факта, но теперь нам хорошо знакома невесомость в спутниках, которая возникает вследствие того, что гравитационная сила и центробежная оказываются одинаковыми по абсолютной величине и противоположными по знаку. Возможность возникновения подобного рода невесомости есть суть принципа эквивалентности.
Перед тем, как мы извлечём полезную физику из этой идеи, мы должны иметь утверждение, которое является более точным и которое включает в себя определённые измеряемые величины. Более точное утверждение, которое имело бы смысл в рамках ньютоновской механики, могло бы включать в себя силы, действующие на стационарные объекты. Если мы осуществляем движение ящика с постоянным ускорением 𝑔, то на все тела, которые находятся в ящике, должна действовать сила, которая в точности пропорциональна весу; например, силы давления на подставки или силы натяжения пружины, поддерживающей эти тела внутри ящика, являются теми же самыми, что и силы, вызываемые однородным гравитационным полем, характеризуемым ускорением 𝑔. Так как сила давления на подставку не является напрямую измеряемой величиной, то возможно предпочтительнее рассуждать о весе тел, подвешенных на пружинах. Смещения от величины длины пружины в нерастянутом состоянии для заданных масс, подвешенных на заданных пружинах, должны быть в точности равны, когда (1) ящик находится в стационарном гравитационном поле, характеризуемом ускорением 𝑔, или (2) ящик ускоряется с постоянным ускорением 𝑔 в области, где гравитационное поле равно нулю, как показано на рис. 7.1.
Рис. 7.1.
Это утверждение принципа эквивалентности является более физическим, но мы пока говорим на элементарном уровне без определения природы сил более точно. Возможно ли сделать физически значимые утверждения без определения природы сил? Мы можем напомнить ситуацию в механике Ньютона. Часто говорится, что второй закон Ньютона
𝐹
𝑥
=
𝑚𝑥̈
,
(7.1.1)
есть просто определение сил, так что этот закон не несёт в себе никакой реальной физики, поскольку содержит в себе рассуждение, проводимое по логическому кругу. Но очевидно, что теория Ньютона целиком не является логическим кругом, так как она правильно предсказывает орбиты Луны и планет. Что Ньютон имел в виду, говоря нам, что мы должны вычислять силы в соответствии с (7.1.1), было то, что если существует ускорение, мы должны оглядеться по сторонам в поисках какой-либо физической причины, которая вызывает такую силу. Будущее физики лежит в нахождении того, как окружение объекта связано с силами, которые мы подставляем в левую часть уравнения (7.1.1) так, чтобы соответствовать наблюдаемым ускорениям.
Когда Ньютон приходит к своему третьему закону
