которое имеет вид, похожий на тождество Бианки. Свойства ротора могут быть связаны с криволинейным интегралом, если мы используем теорему Стокса1
∮
Γ
𝑮
⋅
𝑑𝒓
=
∫
(rot 𝑮)
⋅
𝑑𝑺
,
(9.3.10)
где интеграл в правой части соотношения представляет собой поверхностный интеграл по любой поверхности, ограниченной замкнутой кривой Γ.
1 Мы используем более распространённое обозначение в отечественной литературе для ротора (”rot”), а не ”curl”, как в лекциях Фейнмана (Прим. перев.)
Для случая гравитации аналогия может быть следующая: криволинейный интеграл представляет изменение вектора, когда мы перемещаем его, оставляя параллельным самому себе, вдоль замкнутой кривой Γ. Такое общее изменение возможно связывается с интегралом по любой двумерной гиперповерхности, ограниченной кривой Γ. Доказательство такого утверждения может быть получено по аналогии с доказательством теоремы Стокса, в котором рассматривается разделение конечной поверхности инфинитезимальной сеткой, например, как показано на рис. 9.4; показывается, что сумма вкладов от любой инфинитезимальной сетки равна криволинейному интегралу. Когда рассматривается аналогия для этой ситуации в пространстве более высоких размерностей, то мы можем лучше понять значение тождества Бианки для описания сущности кривизны пространства.
Рис. 9.4.
9.4. Связь между кривизной и материей
Мы видели, как эффекты, связанные с действием гравитационных полей, могут быть описаны в рамках нашей геометрической интерпретации через тензор кривизны 𝑅μνστ. Осталась только одна задача, состоящая в том, чтобы связать тензор кривизны с источниками гравитации, материи и энергии. Первое, что мы делаем для этого, мы производим свёртку тензора кривизны по первому и последнему индексам и получаем тензор, который называется тензором Риччи
𝑅
νσ
=
𝑅
μ
νσμ
.
(9.4.1)
В этом соотношении указан единственный способ, каким можно свернуть один раз тензор кривизны. Следующий намёк приходит из рассмотрения обобщённого закона сохранения энергии и импульса, который гласит, что свёрнутая ковариантная производная или, иначе говоря, ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса, должна быть равна нулю.
Мы ищем вид соотношения, включающего в себя тензор Риччи таким образом, что его свёрнутая ковариантная производная является тождественным нулём. Ответ получается из свёртывания дважды тождества Бианки (9.3.7). Свёртывание по индексам (μβ) приводит к выражению, включающему в себя тензоры Риччи
𝑅
σα;γ
-
𝑅
σγ;α
+
𝑅
μ
σγα;μ
=
0.
(9.4.2)
Свёртывая по индексам (σ,α), мы получаем
𝑅
;γ
-
𝑅
σ
γ;σ
-
𝑅
μ
γ;μ
=
0.
(9.4.3)
Таким образом, тензорная величина, которая имеет нулевую ковариантную производную, есть
⎛
⎜
⎝
𝑅
μ
γ
-
1
2
𝑔
μ
γ
𝑅
⎞
⎟
⎠;μ
=
0.
(9.4.4)
Гипотеза Эйнштейна состояла в том, что эта величина в точности есть тензор энергии-импульса. Для того, чтобы записать это в эйнштейновской форме, мы просто поднимаем один индекс для того, чтобы записать дважды ковариантный тензор
𝐺
μν
=
𝑅
μν
-
1
2
𝑔
μν
𝑅
=
λ²
𝑇
μν
,
𝐺
μν
;ν
=
0.
(9.4.5)
Первое уравнение (9.4.5) определяет полный закон гравитации Эйнштейна; т.е. это отправная точка всей нашей работы. 𝐺μν часто называется тензором Эйнштейна.
После того, как мы установили связь между тензором энергии-импульса и тензором кривизны, возникает интересный вопрос. Наша интуиция могла бы предполагать, что если повсюду в пространстве нет материи и давлений, геометрия должна бы быть плоской, описываемой метрикой Минковского специальной теории относительности. Тем не менее, оказалось возможным получить решения такие, что
𝑇
μν
=
0
всюду и, несмотря на это,
𝑅
σ
ρτν
≠
0.
(9.4.6)
Наиболее интересным из таких решений является решение А.Тауба. Это решение наиболее интересно, поскольку оно не зависит от времени. Тем не менее, могут быть другие решения такой задачи, так мы можем спросить, можем ли мы иметь гравитацию без того, чтобы имелись источники?
Ответ на этот вопрос вероятно будет аналогичным ответу, который даётся на аналогичный вопрос в электродинамике. Если разрешается зависимость от времени, то уравнения допускают существование полей без источников (т.е. движущиеся волны), до сих пор мы никогда не сталкивались с физическими трудностями, предполагая, что всё наблюдаемое излучение действительно приходит от заряженных источников, которые и испускают это излучение. Можно построить статические поля, например, имеющие потенциалы
φ
=
𝑥,
φ
=
𝑥²
+
𝑦²
-
2𝑧²
,
(9.4.7)
которые являются бездивергентными, а потому не имеют источников. Обычная интерпретация таких решений состоит в том, что такие поля вызываются зарядами, лежащими вне некоторого объёма, внутри которого соотношения (9.4.7) оказываются справедливыми, и для этого требуется всё большее и большее количество заряда, находящегося вне рассматриваемой области для того, чтобы сделать такого рода решения приемлемыми, когда мы пытаемся увеличить объём, в котором выполнены приведённые выше решения.
Не проверяя в деталях решения А. Тауба, я полагаю, что он столкнулся с аналогичной ситуацией. Для того, чтобы объяснить наличие кривизны в отсутствии материи, мы должны взять предельный случай решений, которые имеют ясную физическую интерпретацию на малых областях, и затем разрешить этим областям стать бесконечно большими. Цена, которая при этом должна быть заплачена, состоит в том, чтобы неограниченно отсрочить объяснение растущего количества "внешней” материи, которая нам требуется.
Лекция 10
10.1. Полевые уравнения гравитации
Мы нашли тензор, называемый тензором кривизны, который определяется исходя из того, что происходит, когда мы переносим векторы по некоторой замкнутой кривой в нашем пространстве. Поскольку эта величина является тензором, мы можем использовать её для того, чтобы образовать величины, которые должны быть использованы при написании ковариантных уравнений. Мы не получили никакой физики, просто записывая эти уравнения, тем не менее, мы должны точно определить связь этих уравнений с реальным материальным миром. То, что сделал Эйнштейн, состоит в том, что он попросту предположил, что такая связь есть. Не существует способа вывести эту связь из более фундаментальных принципов. Каждая возможная гипотеза имеет свои характерные свойства, поэтому возможно для более позднего исследователя предположить наличие некоторого критерия, который бы делал выбор единственным, но это по сути дела некий обман.
