Некоторая подсказка, которая может помочь нам, состоит в том, что гравитация взаимодействует с плотностью энергии, так что поскольку плотность энергии в теории относительности есть компонент (44) тензора второго ранга, то в уравнениях нам необходимо иметь тензор второго ранга. Кривизна является тензором четвёртого ранга, так что мы сворачиваем его (по верхнему и нижнему индексу) один раз и используем тензор Риччи. Первая гипотеза Эйнштейна состояла в том, что тензор энергии-импульса попросту равен тензору Риччи λ²𝑇μν=𝑅μν. Тем не менее, возможен другой выбор; мы можем добавить к тензору Риччи метрический тензор, умноженный на скалярную кривизну (свёрнутый тензор Риччи). Таким образом, получаем то, что в конце концов выбрал Эйнштейн:
𝑅
μν
-
1
2
𝑔
μν
𝑅
=
λ²𝑇
μν
.
(10.1.1)
Существует хороший аргумент в пользу того, почему такой выбор лучше. Если мы вычислим ковариантную дивергенцию уравнения (10.1.1), то ответ состоит в том, что эта величина тождественно равна нулю. Это означает, что закон сохранения энергии есть попросту следствие вида уравнения (10.1.1). Если мы положим тензор энергии-импульса равным только вектору Риччи (а не тензору Эйнштейна), то закон сохранения энергии был бы тогда физическим постулатом, который принёс бы больше информации и привёл бы к меньшей свободе. В действительности выбор метрических тензоров не является однозначным; когда мы работаем с ними, у нас есть возможность свободы выбора четырёх функций, соответствующих четырём функциям, которые описывают общее преобразование, задающее новые координаты через старые. Так как закон сохранения энергии есть тождество, то выбор четырёх функций в метрике является полностью свободным.
Насколько хорошо выбор Эйнштейна соответствует Природе? Как мы получаем тензор 𝑇μν и каково значение этих уравнений и кривизны? Для того, чтобы ответить на эти вопросы, мы поработаем с этими уравнениями некоторое время. Прежде всего мы попытаемся понять связь этих уравнений с остальной физикой и с вариационными принципами.
Для того, чтобы записать принцип действия в релятивистском виде, нам необходим интеграл, который есть скалярный инвариант. Мы выбираем, что действие для гравитационного поля есть
𝑆
𝑔
=-
1
2λ²
∫
𝑑⁴𝑥
𝑅√
-𝑔
.
(10.1.2)
В тех выражениях, которые мы выписываем, мы обозначаем 𝑑⁴𝑥=𝑑𝑥𝑑𝑦𝑧𝑑𝑡. Действие 𝑆𝑔 есть скаляр, поскольку 𝑅 есть скаляр и √-𝑔𝑑⁴𝑥 есть скаляр. Мы можем показать последнее, исходя из рассмотрения того, что собственное время есть скалярный инвариант
(𝑑𝑠)²
=
𝑔
μν
𝑑𝑥
μ
𝑑𝑥
ν
.
(10.1.3)
Вследствие того, что 𝑔μν есть симметричный тензор, мы всегда можем ввести вращение таким образом, что тензор будет диагональным; в этом случае
(𝑑𝑠)²
=
𝐷(𝑑𝑡)²
-
𝐶(𝑑𝑧)²
-
𝐵(𝑑𝑦)²
-
𝐴(𝑑𝑥)²
.
(10.1.4)
Отсюда мы видим, что элемент объёма 𝑑⁴𝑥 не является инвариантом; должным образом выбранный инвариантный элемент объёма есть
√
𝐴𝐵𝐶𝐷
𝑑𝑥'
𝑑𝑦'
𝑑𝑧'
𝑑𝑡'
=
√
-𝑔
𝑑⁴𝑥'
,
(10.1.5)
где 𝑔'=Det 𝑔'μν. Если мы делаем ортогональные преобразования, то 𝑑⁴𝑥=𝑑⁴𝑥' и также определитель Det 𝑔μν равен Det 𝑔'μν. Таким образом, общее выражение для инвариантного элемента объёма есть
√
-𝑔
𝑑⁴𝑥
.
(10.1.6)
Величина √-𝑔 есть скалярная плотность. Это означает, что её изменение при координатном преобразовании получается умножением на якобиан преобразования
√
-𝑔'
=
⎪
⎪
⎪
∂𝑥μ
∂𝑥'ν
⎪
⎪
⎪
√
-𝑔
.
(10.1.7)
Тензор кривизны появляется тогда, когда мы вычисляем вариацию величины 𝑆𝑔 по отношению 𝑔μν
δ𝑆𝑔
δ𝑔μν
=
1
2λ²
√
-𝑔
⎛
⎜
⎝
𝑅
μν
-
1
2
𝑔
μν
𝑅
⎞
⎟
⎠
.
(10.1.8)
Это происходит из-за того, что мы можем использовать интеграл от 𝑅 как действие гравитационной части полной задачи.
Позвольте мне отметить, что поскольку этот тензор давления появляется при таком подходе из вариационного принципа, его ковариантная дивергенция с необходимостью равна нулю (это утверждение впервые, я считаю, было отмечено Эддингтоном). Мы увидели эту связь с другого направления, заключающегося в том, что мы могли бы вывести вариационный принцип при условии, что мы исходим из тензора с нулевой дивергенцией. Доказательства, которые мы предлагаем, не являются строгими; мы не беспокоимся о строгости, поскольку факты составляют существо дела, а не их доказательства. Физика может развиваться без доказательств, но мы не можем продолжать развивать теорию без фактов. Доказательства полезны в том смысле, что они являются хорошими упражнениями; если факты верны, тогда доказательства являются предметом игры с корректным использованием алгебры.
Мы хотим показать, что если функционал
𝑆
𝑔
=
∫
𝑑⁴𝑥
∑
[𝑔
μν
]
,
(10.1.8')
есть инвариант при координатных преобразованиях, тогда ковариантная дивергенция вариации 𝑆𝑔 по отношению 𝑔μν тождественно равна нулю. Делая инфинитезимальное преобразование и переходя к штрихованным координатам 𝑥μ→𝑥'μ,
𝑥
μ
=
𝑥'
μ
+
ℎ
μ
(𝑥')
,
(10.1.9)
изменение 𝑔μν задаётся соотношением
𝑔
μν
→
𝑔'
μν
(𝑥')
=
𝑔
μν
(𝑥')
+
ℎ
α
,ν
𝑔
μα
(𝑥')
+
ℎ
α
,μ
𝑔
να
(𝑥')
+
+
ℎ
α
𝑔
μν,α
(𝑥')
.
(10.1.10)
Выражая действие в новых координатах, опуская штрихи у переменных, по которым ведётся интегрирование, инвариантное действие выражается в виде
𝑆
𝑔
=
∫
𝑑⁴𝑥
∑
[𝑔'
μν
]
=
∫
𝑑⁴𝑥
∑
[𝑔
μν
]
+
