𝑁
=
4π
𝑟₀
∫
0
𝑠𝑟²𝑑𝑟
√1-2𝑚/𝑟
,
(14.4.1)
где
𝑚
=
4π
𝑟
∫
0
𝑑𝑟'
ρ𝑟'²
,
и плотность ρ=ρ(𝑠) известна через постулированное уравнение состояния, такое как наш ”адиабатический” закон
𝑠
𝑑ρ
𝑠
=
𝑝
+
ρ
.
(14.4.2)
Задача определения равновесия состоит в том, чтобы определить конфигурацию с минимальной массой, исходя из заданного числа нуклонов. Мы можем получить такую же информацию, фиксируя значение массы и задавая вопрос о максимальном значении нуклонов. Математическая формулировка состоит в вариационном дифференциальном функциональном уравнении
δ𝑁
δ𝑠(𝑟)
=
0.
(14.4.3)
Если мы справляемся с решением этого уравнения, мы получаем экстремальные решения 𝑠(𝑟). Весьма приятно для меня чувствовать, что даже очень сложные проблемы пытаются выглядеть просто, будучи выраженными на языке соответствующим образом выбранных принципов! Мы найдём решения с минимальной массой, если экстремум 𝑁[𝑠(𝑟)] действительно является максимумом.
После того, как у нас будут исследованы статические решения, мы можем обратить наше внимание к полной динамической задаче. Дифференциальные уравнения выглядят устрашающе. По мере того, как мы рассматриваем их чудовищно сложную структуру и начинаем делать сравнения с классическим пределом, значение многих членов становится более очевидным. В наипростейшем случае газовой динамики уравнения описывают распространение звука в неоднородной среде; это нелинейный звук, так что в среде могут образовываться ударные волны и т.д. Не вызывает удивления то, что объект нашего исследования настолько сложен. Наиболее простая модель исследований может касаться небольших колебаний в окрестности статических решений; действительные частоты обозначали бы то, что наши предыдущие решения, однажды сформировавшись, были бы на самом деле устойчивыми, и мнимые частоты говорили бы нам о том, что наши решения были бы неустойчивыми.
Усовершенствованные вычисления нуждаются также в лучших выражениях для "физической” стороны уравнений. Что происходит, если мы учитываем испускание нейтрино из центра звезды? Будет ли происходить падение вещества к центру в этом случае или происходит что-либо другое? В случае, когда звезда является в большой степени релятивистской, тогда эти нейтрино могут уносить большую часть полной энергии и, таким образом, могут привести к существенному уменьшению гравитационного притяжения. Классическая теория звёзд основана на довольно прочном основании, когда масса покоя частиц определяет почти полностью значение энергии. В этом случае уносящаяся из центра звезды энергия приводит к дальнейшему коллапсу, что ведёт к тому, что центр звезды становится горячее. Если центр становится горячее, то ядерные реакции доставляют больше энергии, которая должна быть унесена, чтобы звезда осталась устойчивой. Если же центр становится настолько горячим, что горение ядерного топлива производит энергии больше, чем может быть унесено из звезды, ситуация становится неустойчивой и звезда взрывается. В сильно релятивистском случае, тем не менее, новые качественные признаки начинают появляться, когда энергия излучения составляет большую часть полной массы. Здесь, когда центр звезды ”охлаждается” потерей энергией, энергия, соответствующая притяжению звезды, становится меньше, поскольку существенная часть массы уносится. Таким образом, может быть так, что для достаточно большой массы, может не быть процессов, приводящих ко взрыву.
Я полагаю, что решения данной задачи покажут, что для масс, больших, чем несколько единиц, умноженных на 10⁸ солнечных масс, сферически симметричные решения для конденсирующейся материи не приводят к коллапсу, но ”сортируют грязь”, влетающую в звезду и вылетающую из звезды, в окрестности определённого наиболее предпочтительного значения радиуса. Обычные процессы звёздной эволюции могут иметь место, если распределение становится несферическим. Двигаясь в этом направлении, потом возможно мы сможем найти объяснение тому факту, что оказывается, что все видимые звёзды имеют почти одинаковый размер. Решение полной динамической задачи может привести нас к тому, чтобы понять, как вещество, однородно распределённое, может начать конденсироваться симметричным образом, и тогда в определённой точке оказывается предпочтительным формирование сгустков, которые могут конденсироваться дальше. Результаты могут оказаться очень высоко чувствительными к любому количеству углового момента, которым первоначально обладает конденсирующаяся масса. Например, планеты содержат почти 95% полного углового момента нашей Солнечной системы. Может быть так, что конденсирующая масса может сформировать шары, к которым переносится большая часть углового момента.
Лекция 15
15.1 Физическая топология решений Шварцшильда
В предыдущей лекции у нас были сделаны некоторые предположения о том, что распределение действительного вещества не может сконденсировать вещество внутри сферы с радиусом меньшим, чем величина гравитационного радиуса 2𝑚; даже если мы в порядке рабочей гипотезы приходим к выводу о том, что ”кротовые норы” не могут быть образованы из реального вещества, остаётся вопрос, который касается того, действительно ли решение Шварцшильда представляет случай, в котором тензор 𝐺μν равен нулю всюду, случай, в котором вещества нет вовсе, может выглядеть как вещество, которое рассматривается с расстояния. Следовательно, давайте попытаемся продолжить решение Шварцшильда внутрь критического радиуса 2𝑚. Мы полагаем, что это должно быть возможным потому, что хотя метрика
(𝑑𝑠)²
=
⎛
⎜
⎝
1
-
2𝑚
𝑟
⎞
⎟
⎠
(𝑑𝑡)²
-
(𝑑𝑟)²
1-2𝑚/𝑟
-
𝑟²(
(𝑑θ)²
+
sin²θ
(𝑑φ)²
)
(15.1.1)
имеет очевидную сингулярность при 𝑟=2𝑚, компоненты тензора кривизны являются гладкими в этой точке. Компоненты тензора кривизны становятся сингулярными в начале координат 𝑟=0, так что действительно происходит что-то ужасное с пространством в начале координат. Космический корабль, падающий в начало координат, может быть катастрофическим образом искривлён, потому что приливные силы становятся бесконечными, это есть тип ужасного поведения, который следует из сингулярности тензора кривизны. Всё, что происходит при 𝑟=2𝑚, состоит в том, что коэффициенты перед членами (𝑑𝑡)² и (𝑑𝑟)² меняют знак в соотношении (15.1.1), тем не менее, пространство остаётся по-прежнему с сигнатурой три и один, так что пространство чувствует себя совершенно нормально.
Давайте рассмотрим разложение пространства в окрестности сингулярной точки. Предположим, что мы меняем координаты в окрестности 𝑟=2𝑚, и рассмотрим плоскости 𝑑φ=0, 𝑑θ=0. На языке новой переменной 𝑥, мы имеем
𝑥
=
(1-2𝑚)
,
𝑟
=
2𝑚(1+𝑥)
при малых значениях
𝑥
,
(𝑑𝑠)²
=
𝑥(𝑑𝑡)²
-
(2𝑚)²
(𝑑𝑥)²
𝑥
,
(15.1.2)
вблизи сингулярной точки. Хотя пространство меняет знак, когда 𝑥 меняет знак, при 𝑥>0 метрика может быть заменена вновь таким образом, что она становится плоской; простое координатное преобразование приводит метрику к ”полярному” виду
