𝑥
=
𝑅²
→
(𝑑𝑠)²
=
𝑅²
(𝑑𝑡)²
-
(4𝑚)²
(𝑑𝑅)²
,
(15.1.3)
с использованием этого соотношения метрика легко может быть преобразована в метрику Минковского путём подстановки
𝑣
=
4𝑚𝑅cosh(𝑡/4𝑚)
,
𝑢
=
4𝑚𝑅sinh(𝑡/4𝑚)
,
→(𝑑𝑠)²
=
(𝑑𝑢)²
-
(𝑑𝑣)²
.
(15.1.4)
Эти результаты показывают, что пространство вблизи сингулярной точки ведёт себя совершенно хорошо, так что сингулярность Шварцшильда есть особенность координат, которые мы определили. Для того, чтобы связать геодезические, проходящие через точку 𝑟=2𝑚, уравнение (15.1.4) подсказывает подстановку
𝑥
=
⎛
⎜
⎝
1
-
2𝑚
𝑟
⎞
⎟
⎠
=-
(𝑢²-𝑣²)
(4𝑚)²
,
𝑢
𝑣
=
tanh
⎛
⎜
⎝
𝑡
4𝑚
⎞
⎟
⎠
,
(15.1.5)
на языке координат 𝑢 и 𝑣 пространство и метрика являются гладкими с обеих сторон 𝑟=2𝑚. Подобное преобразование использовалось Фуллером и Уилером [FuWh 62] для того, чтобы получить пересечение промежутка, где имелась координатная особенность. Геодезические, правильно соединяющиеся через значение 𝑟=2𝑚, показывают, что частицы, падающие по направлению к гравитирующей массе, при значениях координаты 𝑟 меньших, чем её критическое значение 2𝑚, не отражаются в какое бы то ни было ”новое" пространство на другой стороне любой горловины, а сохраняют своё падение по направлению к началу координат. Здесь нет противоречия с рассмотрениями, которые привели к предположениям о кротовых норах. Топология типа горловины получается путём разрезания пространства неким особым способом, если положим 𝑑𝑡=0. Тем не менее, движение реальных частиц не происходит в пространстве, в котором 𝑑𝑡=0, и нет основания тому, почему топология подпространства 𝑑𝑡=0 должна бы соответствовать общему свойству четырёхмерного пространства. Тороидальный пончик может быть вырезан из целого куска даже тогда, когда нет ничего тороидального у этого целого куска. Для физических задач топология, которой мы интересуемся, касается геодезических, и здесь не существует времениподобных геодезических, которые бы проходили через кротовую нору.
15.2. Орбиты частиц в поле Шварцшильда
Поучительно получить описание радиального движения частиц как функции собственного времени 𝑠. Как обычно для задач описания движения в поле центральных сил, движение происходит в одной плоскости (мы выбираем её таким образом, что θ=π/2, и радиальное движение определяется двумя параметрами 𝐾 и 𝐿, связанными с полной энергией и угловым моментом, которые есть первые интегралы уравнения для времени и уравнения для угла, как следует из следующих уравнении: уравнения геодезических
𝑑
𝑑𝑠
⎛
⎜
⎝
𝑔
μν
𝑑𝑥μ
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
=
1
2
∂𝑔αβ
∂𝑥ν
𝑑𝑥α
𝑑𝑠
𝑑𝑥β
𝑑𝑠
,
(15.2.1)
может быть тривиальным образом проинтегрировано, когда ν=3,4 (координаты φ, 𝑡), поскольку метрический тензор не зависит от φ и 𝑡, и, следовательно, правая часть уравнения (15.2.1) равна нулю. Из этого условия определяются следующие интегралы:
𝐾
=
(1-2𝑚/𝑟)
𝑑𝑡
𝑑𝑠
,
𝐿
=
𝑟²
𝑑φ
𝑑𝑠
.
(15.2.2)
Уравнение для описания изменения радиальной координаты может быть получено, если мы положим ν=1 в уравнении (15.2.1), но это требует больше работы, чем это необходимо. Легче получить уравнение для описания изменения радиальной координаты из условия
𝑔
μν
𝑑𝑥μ
𝑑𝑠
𝑑𝑥ν
𝑑𝑠
=
1,
(15.2.3)
которое может быть явным образом записало через величины 𝐿 и 𝐾 следующим образом:
𝐾²
(1-2𝑚/𝑟)
-
1
(1-2𝑚/𝑟)
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑟
𝑑𝑠
⎞²
⎟
⎠
-
𝐿²
𝑟²
=
1.
(15.2.4)
Собственное время, соответствующее пролёту частицы от значения радиуса 𝑟₀ до значения радиуса 𝑟₁, задаётся следующим соотношением:
∫
𝑑𝑠
=
𝑟₁
∫
𝑟₀
𝑑𝑟
⎛
⎝
𝐾
-
(1-2𝑚/𝑟)
(1+𝐿²/𝑟²)
⎞-½
⎠
.
(15.2.5)
Необходимо заметить, что более не происходит ничего ужасного при 𝑟=2𝑚, подынтегральное выражение ведёт себя хорошо, нет никакой задачи соединения траектории, проходящей через какой-либо промежуток (содержащий координатную особенность 𝑟=2𝑚). Если бы мы сначала изучали орбитальные движения и не беспокоились по поводу метрики, мы могли бы не заметить сингулярности в координатах Шварцшильда и могли бы получить правильные ответы, просто используя соотношение (15.2.5).
Появление квадратного корня является довольно обычным при рассмотрении орбитальных движений, и анализ поведения выражения, стоящего под квадратным корнем, является весьма важным. Интегрирование прекращается в том случае, если выражение, стоящее под квадратным корнем, становится отрицательным, меньшие значения радиуса никогда не могут быть достигнуты частицами (движущимися по этим геодезическим). Если угловой момент 𝐿 достаточно велик, то квадратный корень становится мнимым при значении радиуса большем, чем 2𝑚, и орбиты имеют такое же качественное поведение, что и в ньютоновском случае.1 С другой стороны, если энергия и угловой момент являются такими, что частица должна пересечь значение радиуса 2𝑚, то выражение, стоящее под знаком квадратного корня, не должно стать отрицательным при значениях радиальной координаты меньших, чем 𝑟=2𝑚, и это означает то, что все частицы продолжают своё падение к началу координат. Фактически, как только частица оказалась внутри области 𝑟=2𝑚, частицы с большим угловым моментом 𝐿 падают быстрее, ”центробежная сила” очевидно действует скорее как притяжение, чем как отталкивание.
1 В метрике Шварцшильда полное решение задачи о сечении захвата частицы, обладающей произвольной скоростью на бесконечности, приведено в работе [Заха 88*] (а обобщение этих соотношений на случай заряженной чёрной дыры получено в работе [Zakh 94*]). (Прим. перев.)
В этом месте я хочу упомянуть некоторые своеобразные результаты, которые получаются, когда делается предположение, что поле Шварцшильда соответствует заряженному объекту, на который смотрят с расстояния. Легко может быть показало, что единственное изменение в метрике заключено в следующей замене
