𝑇¹₁

=

2𝑅̈

𝑅

+

𝑘+𝑅̇²

𝑅²

=-

8π𝐺𝑝

+

Λ

.

(12.5.2)

В этом соотношении величина 𝑝 есть усреднённое давление. Оно включает в себя все давления, обычное газовое давление, давление излучения и любое другое давление, обусловленное каким бы то ни было другим процессом. Для нашего обсуждения мы будем предполагать, что газовое давление настолько много больше любого другого давления, что всеми другими видами давления можно будет пренебречь. Но это давление является очень маленьким, поскольку оно по порядку величины (𝑝𝑣²)/2 где (𝑣/𝑐) - средняя скорость газа, которая является совершенно малой величиной и мы будем предполагать, что оно не играет роли при определении динамики вселенной. Мы получаем описание динамики прямо из плотности ρ, требуя, чтобы тензор 𝑇 удовлетворял условию равенства нулю дивергенции. В результате получаем следующее соотношение между 𝑝 и ρ

𝑑

𝑑𝑡

(ρ𝑅³)

=-

3𝑝𝑅²

𝑑𝑅

𝑑𝑡

.

(12.5.3)

Это уравнение и есть как раз 𝑇^μ_4;μ=0. Другая независимая ковариантная дивергенция 𝑇^μ_1;μ=0 даёт 𝑝_,𝑟, то есть то, что и ожидалось, так как вселенная - изотропна. Этот результат имеет очень простую структуру и он имеет очевидное классическое значение, если мы называем 𝑅 радиусом вселенной. Величина ρ𝑅³ пропорциональна полной массе, которая есть содержание энергии в однородном шаре с радиусом 𝑅. Член, стоящий в правой части уравнения (12.5.3), определяет скорость совершения работы, так как он представляет собой давление, умноженное на объём. Это уравнение имеет точно такую же структуру, если вместо целой вселенной мы возьмём меньшую область, радиус которой равен величине 𝑎, пропорциональной 𝑅. В этом случае

𝑑

𝑑𝑡

(ρ𝑎³)

=-

3𝑝𝑎²

𝑑𝑎

𝑑𝑡

.

(12.5.4)

Если 𝑝=0, то количество вещества внутри сферы не меняется;

4π

3

ρ𝑅³

=

𝑀

(12.5.5)

есть постоянная величина. Мы можем решить эти уравнения для того, чтобы получить

(𝑘+𝑅̇²)

=

2𝐺

𝑀

𝑅

.

(12.5.6)

Рис. 12.2.

Это дифференциальное уравнение может быть решено для того, чтобы найти функцию 𝑅(𝑡). Поведение возможных решений легко понять, оставаясь всё ещё в пределах ньютоновской механики. То, что может происходить, могло бы быть легко рассмотрено на языке того, что может происходить с оболочкой толщины 𝑑𝑎 вне сферически симметричного распределения 𝑚 (см. рис. 12.2). Может быть рассмотрено, каким образом происходит свободное падение в поле массы, находящейся внутри, которая есть постоянная величина, и это движение описывается уравнением свободного падения тела. Закон сохранения энергии говорил бы нам в ньютоновской механике, что

-

𝐺𝑚

𝑎

+

𝑎̇²

2

=

постоянная

=

Энергия/Масса.

(12.5.7)

В зависимости от величины этой энергии, возможны три типа решений.

Если энергия положительна, то оболочка продолжает расширение вечно и сохраняет расширение бесконечное время.

Если энергия равна нулю, то оболочка расширяется асимптотически к статической вселенной бесконечного разжижения.

Если энергия отрицательна, то движение ограничено и циклично.

Эти решения ньютоновской задачи соответствуют возможным типам вселенной; 1) соответствует открытой вселенной с отрицательной кривизной; 3) соответствует замкнутой вселенной с положительной кривизной.

Почему эти ньютоновские решения оказались достаточно хорошими для того, чтобы охарактеризовать ответы на наши вопросы? Это происходит потому, что в сферически симметричной задаче движение конечной оболочки вещества определяется только массой, находящейся внутри. Масса, находящаяся вне, образует внутри пространство, эквивалентное плоскому. Таким образом, рассматривая движение конечной оболочки, мы получаем описание поведения всей вселенной. Здесь мы снова видим мощь предположения о космологической однородности.

Лекция 13

13.1 О роли плотности вселенной в космологии

Теперь мы увидели, как постулат об однородности приводит к различным возможностям вселенной, которая может быть как открытой, так и закрытой. Мы видим, что один из наиболее интересных космологических вопросов состоит в том, является ли наша вселенная неограниченной и расширяющейся вечно или она ограничена. Мы рассчитываем ответить на этот вопрос на основе наблюдений. Какие же есть факторы, относящиеся к этой проблеме? Центральный вопрос есть следующий: являются ли скорости галактик достаточно большими, чтобы они неограниченно разбегались, или эти скорости настолько малы, что движение финитное? Давайте сделаем некоторые оценки на основе ньютоновской механики, которые достаточно близки к релятивистским оценкам для нашей задачи. Если радиальная скорость оболочки с радиусом 𝑟 пропорциональна величине 𝑟, достаточно ли кинетической энергии для неограниченного разбегания? Из-за сферической симметрии мы, при выписывании закона сохранения энергии, рассматриваем только массу, находящуюся внутри оболочки. Если мы предполагаем однородную плотность ρ во вселенной, то критическое значение для чисто финитной и чисто инфинитной вселенной есть условие, что

1

2

𝑣²

𝐺𝑀

𝑟

, где

𝑀

=

4π

3

π𝑟³

.

(13.1.1)

Мы можем произвести это вычисление для какого бы то ни было любого значения 𝑟. Теперь мы положим 𝑣=𝑟/𝑇 где 𝑇 есть хаббловское время, одна из тех величин, которые мы должны определить. Критическое значение может быть тогда выражено через значение плотности

ρ

=

3

8π

1

𝐺𝑇²

(13.1.2)

Если мы принимаем нынешнее значение хаббловского времени 𝑇=13×10⁹ лет, мы вычисляем критическую среднюю плотность, которая оказывается равной ρ=1⋅10⁻²⁹ г/см³. Мы не будем знать, является ли вселенная финитной или инфинитной до тех пор, пока мы не измерим среднюю плотность с достаточной точностью для того, чтобы иметь обоснованное сравнение с критическим значением.

К сожалению, измерения плотности вселенной являются предельно трудными и предельно неопределёнными, произвести их намного труднее, чем измерения постоянной Хаббла, которая сама может иметь существенную неопределённость. Как уже упоминалось, всего-навсего несколько лет назад возраст вселенной Т считался меньшим примерно в 2.4 раза. Для получения исправленной оценки возраста вселенной было затрачено существенно больше усилий, чем для получения первоначальной оценки, так что исправленная оценка может быть более надёжной, тем не менее, не является невообразимым, что нынешнее значение может быть вновь изменено на аналогичный множитель. Как обычно, конечный результат является очень чувствительным к величине, которая измеряется для многих сложных случаев измерения, а именно, тех галактик, которые находятся на пределе чувствительности наших телескопов. Соответствующие расстояния оцениваются на основе анализа яркости скоплений вместо того, чтобы делать это на основе анализа яркости галактик, и нет гарантии, что такие наблюдаемые скопления являются типичными в рассматриваемой нами области и что они по своей интенсивности сопоставимы со скоплениями, близкими к нам. Таким образом, конечные оценки 𝑇 оказываются случайными в зависимости от правильности длинной цепочки предположений, каждое из которых вносит существенный вклад в возможную ошибку в конечном результате. Какова же ситуация, связанная с оценками средней плотности? Если мы считаем галактики и предполагаем, что они более и менее такие же, как ближайшие к нам галактики, полная плотность такого рода видимого вещества около 10⁻³¹ г/см³. Эта величина представляет некоторого рода нижний предел на плотность вещества, так как видимое вещество должно быть некоторой частью полной плотности вещества. Плотность вещества в межгалактических областях оценивается по измерениям интенсивности различных узких спектральных линий, как функция расстояния до источника. Предположительно, поглощение излучения в таких линиях есть мера количества атомов заданного типа в области между излучателем и наблюдателем. Имеется огромное число предположений и поправок, которые должны быть сделаны для того, чтобы привести полученные данные к численной оценке, так что также не ожидается, что конечный результат будет определённым, за исключением возможно оценки по порядку величины. Измерения по количеству натрия явились достаточно успешными, но ключевой величиной при таких измерениях является количество водорода, которое предположительно получается из наблюдений поглощения в линии водорода 21 см. Радиоастрономы работают над такими измерениями; их результаты, полученные к настоящему времени, указывают на то, что видимое вещество составляет на самом деле лишь очень небольшую часть полной плотности вещества. Критическая величина плотности ρ=1⋅10⁻²⁹ г/см³ всегда находится в пределах диапазона любой оценки, тем не менее, эти данные являются достаточно грязными, так что если в теории потребуется плотность настолько высокая как ρ=1⋅10⁻²⁷ г/см³, то наблюдения не могли бы исключить такую величину, теория не могла бы быть опровергнута на основе того, что плотность, предсказываемая такой теорией, оказывается слишком высокой.