𝑡₀
∫
𝑡
𝑑𝑡'
𝑅(𝑡')
=
𝑟
∫
0
𝑑𝑟
1+𝑘𝑟²/4
=
𝑡₀+Δ𝑡₀
∫
𝑡+Δ𝑡
𝑑𝑡'
𝑅(𝑡')
,
(12.3.2)
поскольку координата 𝑟 есть постоянная величина для заданной галактики. Какова бы ни была длина интервала 𝑡₀-𝑡, если обе величины Δ𝑡 и Δ𝑡₀ малы сравнительно с изменениями функции 𝑅(𝑡), то из уравнения (12.3.2) следует, что
Δ𝑡
𝑅(𝑡)
=
Δ𝑡₀
𝑅(𝑡₀)
.
(12.3.3)
Таким образом, сравнение частот определяется функцией 𝑅(𝑡) полученный результат определяется соотношением:
ω
приёма
=
𝑅(𝑡)
𝑅(𝑡₀)
⋅
𝑤, 𝑤
=
естественная частота.
(12.3.4)
Очевидно, что функция 𝑅(𝑡) - масштабный фактор для вселенной. Если 𝑅(𝑡) есть монотонно возрастающая зависимость от 𝑡, что соответствует расширяющейся вселенной, то все принимаемые частоты имеют красное смещение. Величина этого смещения будет приблизительно пропорциональна (𝑡₀-𝑡), если этот интервал мал по сравнению с интервалом, на котором происходит изменение функции 𝑅(𝑡).
Перед тем, как мы сможем связать это красное смещение с хаббловским красным смещением, мы должны придумать схему для задания расстояний, соответствующих различным значениям координаты 𝑟.
12.4. Измерения космологических расстояний
Давайте представим себе, что мы пытаемся определить расстояние до удалённой галактики, рассматривая её видимый угловой диаметр. Предположим, что галактика имеет диаметр 𝐿; тогда, если мы наблюдаем угловую протяжённость Δθ, расстояние до галактики 𝐷₀ должно задаваться следующим соотношением
Δ
θ
⋅
𝐷₀
=
𝐿
,
т.е.,
𝐷₀
=
𝐿
Δθ
.
(12.4.1)
Предполагается, что 𝐿 есть длина в равные моменты времени, т.е. 𝑑𝑡=0. Мы предполагаем, что величина φ остаётся постоянной и что Δθ может рассматриваться как инфинитезимальная величина. Интервал является времени-подобным:
-
(𝑑𝑠)²
=
𝑅²(𝑡₀)
(1+𝑘𝑟²/4)²
𝑟²
(
Δ
θ)²
=
𝐿²
,
(12.4.2)
так что
𝐷₀
=
𝑅(𝑡₀)𝑟
(1+𝑘𝑟²/4)
.
(12.4.3)
При диапазоне значений расстояний много меньших, чем 1/√𝑘 величина 𝑟 будет соответствовать расстоянию, измеряемому таким способом с масштабным множителем 𝑅(𝑡) Мы видим также, что при использовании расстояний, измеряемых таким способом, красное смешение удалённых галактик должно быть пропорционально их расстоянию от нас (закон Хаббла) как результат, получаемый в первом порядке.
Другой достаточно общий метод оценки расстояний основан на использовании видимой яркости галактик. Предполагается, что галактики имеют постоянную среднюю "стандартную” яркость, что соответствует испусканию заданного числа фотонов заданной энергии в каждую секунду. Этот метод аналогичен оцениванию расстояний по методу стандартной свечи, при котором говорится, что 𝐷² =(Стандартная интенсивность/Видимая интенсивность), поскольку интенсивность удовлетворяет закону обратных квадратов. Для нашей нынешней задачи видимый телесный угол есть (𝐿²/𝐷²), где 𝐿 - есть диаметр галактики; мы должны включить также множитель, учитывающий замедление времени, поскольку 𝑁 фотонов, испущенных в нашем направлении в интервале времени Δ𝑡, должны будут наблюдаться в интервале Δ𝑡₀, связанном с интервалом Δ𝑡 соотношением (12.3.3). Если мы сравниваем интенсивности, мы должны включить множитель, который учитывал бы уменьшение энергии фотонов вследствие наличия красного смещения, выражение для которого приведено в соотношении (12.3.4). Конечный результат, описывающий соотношение между расстоянием 𝐷 и 𝑟, есть
𝐷
=
𝑅²(𝑡₀)𝑟
𝑅(𝑡)(1+𝑘𝑟²/4)
.
(12.4.4)
Соотношение (12.4.4) отличается от соотношения (12.4.3) на множитель 𝑅(𝑡₀)/𝑅(𝑡), так что числа 𝐷₀ и 𝐷 не совпадают. Тем не менее, возможно связать всё это вместе и получить выражение для 𝑅(𝑡) в идеальном случае; эти рассмотрения являются стимулом для наблюдений, которые делаются с помощью 200-дюймового телескопа на горе Паломар; большую часть времени этого телескопа астрономы используют, наблюдая галактики, измеряя их диаметры, интенсивности, красные смещения в целях поиска наилучших обоснований характера функции 𝑅(𝑡) в том случае, если рассматриваемая в настоящее время модель является правильным описанием эволюции вселенной.
Если мы задаём вопрос о числе галактик, которым следовало бы находиться в оболочке толщины 𝑑ρ на расстоянии ρ от нас, мы получим, конечно, различные выражения в зависимости от того, означает ли ρ расстояние 𝐷₀-типа или расстояние 𝐷-типа. Несмотря на это, ответ оказывается следующим
Число галактик между
ρ
и
(ρ+𝑑ρ)
=
𝑑𝑟 𝑟²𝑅³(𝑡)
(1+𝑘𝑟²/4)³
⋅
𝐾
(12.4.5)
в предположении, что галактики имеют одну и ту же среднюю плотность массы при всех значениях радиуса (𝐾 - константа).
Должно быть подчёркнуто, что все такие методы исследования структуры вселенной имеют встроенные в теорию предположения, которые могут быть в большой степени неверными. При определении расстояния из видимой яркости галактик предполагается, что нет существенного изменения яркости галактики с возрастом. Некоторые астрономы пытались вычислить сложные поправки для предполагаемой эволюции звёзд, но по правде говоря, мы не знаем точно, как интенсивности эволюционируют в старой галактике. Должны ли мы предпочитать измерять диаметры галактик? Нет, поскольку не только трудно измерять диаметры для удалённых галактик, но мы также не знаем увеличиваются или уменьшаются диаметры галактик с возрастом. Дальнейшие трудности связаны с тем, что когда галактики становятся очень тусклыми, то почти невозможно быть уверенным в том, как много мы их теряем вследствие их тусклости. Эти трудности не затрагивают полученных результатов при условии, что мы предполагаем, что модель Хойла правильно описывает эволюцию вселенной; эта модель является единственной полностью детализированной космологической моделью, в рамках этой модели безоговорочно определяется, что галактики в среднем должны быть одинаковыми, так как вселенная находится в стационарном состоянии.
12.5. О характеристиках закрытой или открытой вселенной
Детальная динамика моделей вселенной (называемых моделями Фридмана, когда Λ=0, и моделями Леметра в противном случае) может быть изучена на языке компонентов тензора энергии-импульса. Если мы вычисляем эти компоненты из тензора кривизны, выведенного из выражения для метрики (12.2.3), мы получаем для компонента с индексами 44
𝑇⁴₄
=
3
⎛
⎜
⎝
𝑘+𝑅̇²
𝑅²
⎞
⎟
⎠
=
8π𝐺ρ
+
Λ
,
(12.5.1)
где ρ - средняя плотность вещества. Для другого диагонального элемента имеется следующее выражение
