При отсутствии надежд, связанных с пертурбативной квантовой гравитацией, вновь возник интерес к определению того, имеет ли смысл непертурбативная квантовая гравитация, основанная на общей теории относительности. Возможно несогласованности вводятся пертурбативной формулировкой. Канонический подход к квантовой обшей теории относительности с использованием уравнение Уилера-Де Витта и канонических переменных зашёл в тупик, что обусловлено сложностью уравнений, которые должны быть решены. Недавно, однако, переформулировка общей теории относительности на языке новых переменных [Asht 86, Asht 87] привела к новому петлевому представлению квантовой общей теории относительности [JaSm 88], [RoSm 88], где уравнения много проще для решения, и некоторое продвижение вперёд было достигнуто. Эти новые переменные имеют прямую родственную связь между общей теорией относительности и теорией Янга - Миллса, что возможно может быть использовано.

Последнее замечание: Фейнман и индексы

Фейнман однажды говорил мне, что постановка знаков минус, множителей 𝑖, 2 и π правильным образом является чем-то таким, о чем стоит беспокоиться только тогда, когда настаёт время опубликования результата. Видимо, правила для индексов и общепринятые стандартные соглашения также попадают в эту категорию. От начала до конца в первых шести лекциях, фактически каждый индекс опускается (см. также [Feyn 63b]). Тем самым производятся необычные обозначения такие, что 𝑥_μ=(𝑡,𝑧,𝑦,𝑥) и 𝑥^μ=(𝑡,-𝑧,-𝑦,-𝑥). Игнорирование правила индексов не будет допустимо, когда пространство-время не является более плоским. Я отрегулировал использование индексов таким образом, чтобы стандартные правила индексов выполнялись, и использовал практически стандартный символ η_μν для метрики Минковского (Фейнман использовал δ_μν).

В Пасадине у Фейнмана был фургон, на боках которого и сзади были нарисованы фейнмановские диаграммы. Изображение этого фургона приведено в книге [Syke 94]. Когда я впервые увидел этот фургон в 1981 году на стоянке вблизи Аудитории Бекмана в КАЛТЕХ’е, я не знал, что он принадлежит Фейнману. Потребовалось всего несколько секунд, чтобы понять, что этот фургон принадлежал Фейнману потому, что (1) номерной знак содержал неправильно написанное слово QUANTUM, которое было написано как ”QANTUM”,¹ и (2) диаграмма на задней стороне фургона, единственная диаграмма с обозначениями, имела все индексы в нижнем положении. Фейнман утверждал, что КЭД уже имеет свой номерной знак и что слово QUANTUM является слишком длинным. (С другой стороны, я помню, что Фейнман довольно часто писал слово ”gauge” ("калибровка”) как ”guage”). На этой диаграмме величина η_μν была пропущена у пропагатора для фотона, отсюда следует, что гамма-матрицы, связанные с вершинами, должны были размечаться с одним индексом вверху и одним индексом внизу. Заглянув в одно из окон фургона и увидев там сзади кипу сена, моё подозрение, что этот фургон принадлежит Фейнману, подтвердилось.

¹ Занятно было бы заметить, что если перевести эту историю на русский язык, то у Фейнмана на номерном знаке вместо слова ”КВАНТ” было написано слово ”КАНТ”, хотя, конечно, всем известно, что фамилия этого крупнейшего философа на немецком (и английском) языке пишется иначе. (Прим. перев.)

Брайен Хатфилд

Лекция 1

1.1. Полевое приближение гравитации

В этой серии лекций обсудим гравитацию во всех её аспектах. Фундаментальный закон гравитации, открытый Ньютоном, утверждает, что гравитационные силы пропорциональны гравитирующим массам и обратно пропорциональны квадратам расстояний. Этот закон впоследствии был модифицирован Эйнштейном так, чтобы он стал релятивистским. Изменения, которые необходимо сделать для того, чтобы теория была релятивистская, фундаментальны. Нам известно, что массы частиц не являются постоянными в теории относительности, таким образом, фундаментальный вопрос заключается в том, как изменение массы меняет закон гравитации.

Эйнштейн сформулировал свой закон гравитации в 1911 г., тем самым, предмет нашего обсуждения не нов, и физические результаты, которые мы должны объяснить, впервые были замечательно объяснены уже самим Эйнштейном. Поэтому обычный курс теории гравитации начинается с установления основных законов теории, т.е. так, как это было сделано Эйнштейном. Такая процедура, однако, не является универсальной, и по педагогическим соображениям в настоящих лекциях будет использоваться несколько другой подход для изложения теории. В настоящее время студенты-физики знают кое-что о квантовой теории, мезонах и других элементарных частицах, которые не были известны в то время, когда Эйнштейном была создана общая теория относительности. Физика в большой степени состояла из теории гравитации и электродинамики, и именно электродинамика вызвала к жизни создание теории относительности, так что проблема состояла в том, чтобы внести теорию гравитации в общую канву открытий, сделанных при изучении электродинамики.

Эйнштейновская теория гравитации, которая, как утверждается, явилась величайшим открытием в теоретической физике, заключается в красивых соотношениях, связывающих гравитационные эффекты с геометрией пространства, что было довольно увлекательной идеей. Видимая простота гравитационных и электрических сил, например состоящая в том, что и те, и другие следуют закону обратных квадратов, который может понять любой ребёнок, приводит к тому, чтобы у каждого из этих ”детей” появилась мечта о том, что когда он подрастёт, он найдёт дорогу к геометризации электродинамики. Таким образом, поколения физиков делали попытки создания так называемых единых теорий поля, которые могли бы объединить гравитацию и электродинамику в рамках единой теории. Ни одна из созданных теорий не была успешной, и мы не будем обсуждать их в этих лекциях. Большая часть из этих теорий являлась просто математическими игрушками, создаваемыми математически мыслящими людьми, у которых было довольно слабое знание физики, большая часть из этих теорий непонимаема. Сам Эйнштейн также работал над этими теориями, и его сочинения на эту тему, по крайней мере, имеют некоторый смысл, тем не менее, успешной теории поля, которая бы объединяла гравитацию и электродинамику, не существует.

В случае создания подобной единой теории такой успех был бы кратковременным, поскольку в настоящее время в физике заключено существенно больше, чем только электродинамика и гравитация, и нам нужно было бы побеспокоиться об объединении мезонов, каонов и нейтрино и всех других тридцати и более элементарных частиц, которые сейчас известны. Таким образом, подобное объединение электродинамики и гравитации не было бы таким великим достижением, как это представлялось ранее, поскольку в мире есть много другого, кроме электричества и гравитации.

Наш педагогический подход является наиболее близким для теоретиков, специалистов в физике элементарных частиц, которые довольно часто используют различные поля, так что для них довольно просто понять, что вселенная образована двадцатью девятью или тридцатью одним полями, объединёнными в одном уравнении; феномен гравитации добавляет ещё одно поле в общий ”котёл”; это такое поле, которое было пропущено при предыдущих рассмотрениях; гравитационное поле является только одним из тридцати других, поэтому объяснение гравитации состоит в объяснении трёх процентов всех известных полей.

Мы даже можем описать наш подход, пользуясь приёмами научной фантастики. Представим себе, что в некоторой малой области вселенной, скажем, на такой планете, как Венера, живут учёные, которые знают всё о других тридцати полях во вселенной, которые уже знают всё, что знаем мы о нуклонах, мезонах и др., но не знают о гравитации. И вдруг производится новый замечательный эксперимент, который показывает, что большие незаряженные массы притягиваются друг к другу с очень-очень слабой силой. И что стали бы тогда делать венериане для того, чтобы объяснить этот замечательный дополнительный экспериментальный факт? Они вероятно попытались бы интерпретировать новый эксперимент в терминах теории поля, что было бы для них весьма привычным.