η
μν
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
-
λ
8π
𝑀
𝑟
если
μ=ν
,
0
в противном случае
(4.7.5)
Подставляем такой полевой тензор в уравнения движения и используем следующие обозначения
φ
=
2λℎ₄₄
,
ψ
=
2λℎ₃₃
=
2λℎ₂₂
=
2λℎ₁₁
.
(4.7.6)
Для данного случая ясно, что φ=ψ=-2𝑀𝐺/𝑟, но в последней лекции мы будем иметь возможность рассмотреть случай, для которого это неверно, так что мы останавливаемся на таком различии в выражении, но предполагаем, что величины φ и ψ являются функциями только 𝑟.
Процедура решения уравнений, описывающих орбиты, аналогична методу решения уравнений для ньютоновского поля. Мы разделяем уравнения на пространственные координаты и временные координаты, исключаем время и параметр α для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее бесконечно малые перемещения по радиальной и угловой координате. Мы исходим из четырёхмерного уравнения (4.7.1). Пространственные координаты (ν=3,2,1) ведут себя согласно следующему уравнению
𝑑
𝑑𝑠
(-
𝑥̇
+
ψ𝑥̇
)=
1
2
⎡
⎢
⎣
∂φ
∂𝑥
𝑡̇²
+
∂ψ
∂𝑥
(
𝑥̇²
+
𝑦̇²
+
𝑧̇²
)
⎤
⎥
⎦
.
(4.7.7)
Уравнение для времени имеет вид
𝑑
𝑑𝑠
(
𝑡̇
+
φ𝑡̇
)=
0.
(4.7.8)
Мы имеем интеграл движения, следующий из уравнения (4.6.13)
𝑥̇
μ
𝑥̇
μ
+
2λ
ℎ
μν
𝑥̇
μ
𝑥̇
ν
=
1,
(4.7.9)
которое приводит для нашего случая к следующему соотношению
𝑡̇
(1+φ)
-
(1-ψ)
(
𝑥̇²
+
𝑦̇²
+
𝑧̇²
)=
1.
(4.7.10)
Из уравнения для времени (4.7.8) следует, что
(1+φ)
𝑑𝑡
𝑑𝑠
=
𝐾,
(4.7.11)
где 𝐾 есть константа (пропорциональная энергии). Это соотношение используется для исключения производной 𝑑𝑡/𝑑𝑠 из уравнения для пространственных компонент (4.7.7). Так как величины φ, ψ зависят только от 𝑟, правая часть уравнения (4.7.7) ориентирована по оси 𝑥. Из этого следует, что
𝑑
𝑑𝑠
[
(1-ψ)
(𝑥̇𝑦-𝑦̇𝑥)
]=
0.
Таким образом, если мы предполагаем, что движение происходит полностью в плоскости 𝑧=0 и используем полярные координаты 𝑟, θ в плоскости 𝑥𝑦, мы имеем дополнительную константу движения 𝐿, связанную с угловым моментом
(1-ψ)
𝑟²θ̇
=
𝐿.
(4.7.12)
Уравнение для радиального движения может быть получено из уравнения (4.7.10), записанного в полярных координатах
𝐾²
1+φ
-
(1-ψ)
(𝑟²θ̇²+𝑟̇²)
=
1.
(4.7.13)
Меняя производную (𝑑𝑟/𝑑θ) на отношение (𝑑𝑟/𝑑𝑠) и (𝑑θ/𝑑𝑠), мы получаем дифференциальное уравнение для орбиты
𝐾²
1+φ
-
𝐿²
(1-ψ)𝑟⁴
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑟
𝑑θ
⎞²
⎟
⎠
+
𝑟²
⎤
⎥
⎦
=
1.
(4.7.14)
Традиционная подстановка 𝑢=1/𝑟 приводит к уравнению, которое можно удобно рассмотреть, анализируя малые возмущения ньютоновских уравнений
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑢
𝑑θ
⎞²
⎟
⎠
+
𝑢²
=
⎛
⎜
⎝
𝐾²
1+φ
-1
⎞
⎟
⎠
1-ψ
𝐿²
.
(4.7.15)
Мы полагаем, что φ=ψ=-2𝑀𝐺/𝑟=-2𝑀𝐺𝑢. Для нерелятивистских движений 𝐾 близка к 1 и 𝐾²/(1+φ)-1=𝐾²-1+2𝑀𝐺𝑢, если величина φ предполагается малой, так что в пределе малых значений φ,ψ правая часть уравнения (4.7.15) как раз и есть 𝐿⁻²(𝐾²-1+2𝑀𝐺𝑢). Это выражение такое же, как и в ньютоновской теории, где правая часть уравнения равна (𝐸+2𝑀𝐺𝑢)𝐿⁻². где 𝐸 - энергия частицы. В релятивистском случае имеются модификации, где мы не пренебрегаем членами более высокого порядка. Их мы обсудим в следующей лекции.
Лекция 5
5.1. Орбиты планет и прецессия Меркурия
Поскольку мы уже достигли некоторого прогресса в развитии более сложных теорий, мы должны взглянуть на более тонкие детали наших предсказаний для того, чтобы иметь критерии для оценки нашей теории. У нас есть полевая теория, которая сводится к ньютоновской теории в статическом пределе и включает в себя полное содержание энергии, и оказывается способной правильно предсказывать ”падение” фотонов в поле звезды. Экспериментальное свидетельство, которое заставит нас отказаться от ньютоновского приближения, касается прецессии перигелия планеты Меркурий. Мы продолжаем вычисление орбит планет. Начнём с уравнения
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑢
𝑑θ
⎞²
⎟
⎠
+
𝑢²
=
⎛
⎜
⎝
𝐾²-1-φ
1+φ
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
1-ψ
𝐿²
⎞
⎟
⎠
,
𝑢
=
1
𝑟
,
𝐾
=
(1+φ)
𝑑𝑡
𝑑𝑠
,
𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑑θ
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
=
𝐿
=
(1-ψ)𝑟²
𝑑θ
𝑑𝑠
,
(5.1.1)
где символы φ и ψ представляют собой диагональные элементы тензора ℎμν, φ=2λℎ₄₄ и ψ=2λℎ𝑖𝑖, 𝑖=1,2,3. Согласно нашей теории, которую мы разработали к настоящему времени, мы имеем φ=ψ=-2𝐺𝑀/𝑟=-2𝐺𝑀𝑢. Однако, как мы вскоре увидим, наша теория неверна, и, чтобы не проделывать всю работу вновь после исправления теории, мы запишем
φ
=
α(-2𝐺𝑀𝑢)
+
𝑎(-2𝐺𝑀𝑢)²
+
…,
ψ
=
β(-2𝐺𝑀𝑢)
+
