𝑑𝑥^μ

𝑑α

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥_μ

𝑑α

⎞

⎟

⎠

-λ

∫

𝑑α

ℎ

_μν

(𝑥)

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥^μ

𝑑α

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥^ν

𝑑α

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(4.6.5)

Введём новый тензор для того, чтобы записать действие в более компактном виде

𝑔

_μν

(𝑥)

=

η

_μν

+

2λ

ℎ

_μν

(𝑥)

,

(4.6.6)

так что действие может быть записано в виде

𝑚₀

=

⎡

⎢

⎣

-

1

2

∫

𝑑α

𝑔

_μν

(𝑥)

𝑥'

^μ

𝑥'

^ν

⎤

⎥

⎦

.

(4.6.7)

Начиная с последнего соотношения и ниже, обозначаем производную по отношению к параметру α знаком ”штрих”. Поскольку мы вариируем функционал (действие) по отношению к координатам траектории, мы получаем два равных члена от каждого из множителей 𝑥'^μ, 𝑥'^ν и один от тензора 𝑔_μν; уравнение движения имеет вид

-

𝑑

𝑑α

(

𝑔

_σν

𝑥'

^ν

)

+

1

2

∂𝑔_μν

∂𝑥^σ

𝑥'

^μ

𝑥'

^ν

=

0.

(4.6.8)

Существуют другие способы записи уравнений, которые могут быть иногда полезны. Сначала мы перегруппируем члены, в которых имеются две скорости, с одной стороны равенства

𝑔

_σν

𝑥''

^ν

=

⎡

⎢

⎣

1

2

∂𝑔_μν

∂𝑥^σ

-

∂𝑔_σν

∂𝑥^ν

⎤

⎥

⎦

𝑥'

^μ

𝑥'

^ν

.

(4.6.9)

Теперь мы расщепляем второй член на две равные части и переобозначаем индексы суммирования μ↔ν одной части для того, чтобы получить комбинацию, которая задаётся специальным символом, поскольку он часто повторяется

[μν,σ]

=

1

2

⎡

⎢

⎣

∂𝑔_μσ

∂𝑥^ν

+

∂𝑔_νσ

∂𝑥^μ

-

∂𝑔_μν

∂𝑥^σ

⎤

⎥

⎦

.

(4.6.10)

Уравнение движения, выраженное через такую скобку (называемую ковариантными коэффициентами связности), становится довольно простым

𝑔

_σν

𝑥''

^ν

=-

[μν,σ]

𝑥'

^μ

𝑥'

^ν

.

(4.6.11)

Имеется одно следствие этого уравнения, которое немедленно получается дифференцированием по параметру α произведения 𝑔_μν𝑥'^μ𝑥'^ν

∂

∂α

(

𝑔

_μν

𝑥'

^μ

𝑥'

^ν

)

=2

𝑔

_μν

𝑥'

^μ

𝑥''

^ν

+

∂𝑔_μν

∂𝑥^σ

𝑥'

^μ

𝑥'

^ν

𝑥'

^σ

.

(4.6.12)

Если мы перепишем произведение 𝑔_μν𝑥''^ν в первом члене в правой части его выражением (4.6.9) и переобозначим индексы суммирования, мы находим, что производная тождественно равна нулю. Таким образом, произведение 𝑔_μν𝑥'^μ𝑥'^ν есть скалярная константа. Если мы определим новый параметр 𝑠 следующим соотношением

𝑔

_μν

𝑥'

^μ

𝑥'

^ν

=

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑠

𝑑α

⎞²

⎟

⎠

,

то 𝑠 - аналог собственного времени для задач гравитации. Так как 𝑑𝑠/𝑑α есть константа, мы выберем её равной единице и обозначим ниже все производные по переменной 𝑠 точкой. В частности, тогда

𝑔

_μν

𝑥̇

^μ

𝑥̇

^ν

=

1.

(4.6.13)

4.7. Орбитальное движение частицы вокруг звезды

Уравнение движения может быть записано через полевой тензор следующим образом (что следует из соотношения (4.6.8))

𝑑

𝑑𝑠

(

η

_σν

𝑥̇

^σ

+

2λ

ℎ

_σν

𝑥̇

^σ

)=

λ

∂ℎ_μσ

∂𝑥^ν

𝑥̇

^μ

𝑥̇

^σ

.

(4.7.1)

Перед решением уравнения движения следует заметить, что нам необходимы соответствующие выражения для гравитационных полей. Мы интересуемся этими выражениями в области, где нет источников массы. Таким образом, полевое уравнение

ℎ

_μν,λ

^λ

-

2

ℎ

_μλ,ν

^,λ

=

λ

𝑇

_μν

(4.7.2)

может быть решено способом, аналогичным решению уравнения Максвелла, если мы используем лоренцеву калибровку ℎ_μλ^,λ=0. Вспоминая определение даламбертиана □=(∂/∂𝑡)²-∇², получаем

□

ℎ

_μν

=-

λ

𝑇

_μν

.

(4.7.3)

Для гравистатического случая, когда временная зависимость имеет нулевую частоту, мы должны иметь ньютоновский закон для силы; компонент 𝑇₄₄ пропорционален массе. Другие компоненты равны нулю. Полевой тензор есть

ℎ

₄₄

=-

λ𝑀

4π𝑟

,

ℎ

=

0,

(ν,μ≠4,4).

(4.7.4)

Тензор без черты получается вычислением оператора ”черты” от обеих частей

ℎ

_μν

=

ℎ

_μν

-

1

2

ℎ

^σ

_σ