Рис. 4.4.
При комптоновском рассеянии фотонов электронами имеется третья диаграмма, изображённая на рис. 4.4, которая неаналогична ни одной из диаграмм, изображённых на рис. 4.3. Эта диаграмма соответствует квадратичному взаимодействию в 𝐴², которое появляется в лагранжиане для того, чтобы сделать теорию калибровочно инвариантной. По аналогии с ситуацией в электродинамике мы могли бы полагать, что при рассмотрении только пары диаграмм, изображённых на рис. 4.3, мы делали приближение к правильному описанию путём линеаризации. Существование амплитуды с квадратичным взаимодействием, соответствующим диаграмме, изображённой на рис. 4.3, может быть выведено в электродинамике требованием того, чтобы калибровочная подстановка
𝑒'₁
=
𝑒₁
+
𝑞𝑎
(4.5.1)
не должна была бы приводить к изменению в амплитуде в заданном порядке. Такая процедура состоит просто в приравнивании членов одного и того же порядка амплитуд, полученных из 𝑒₁ и 𝑒'₁, с коэффициентами перед каждым членом, которые должны быть определены. Может быть возможно вывести форму квадратичного члена гравитона аналогичным способом, но это пока ещё не было сделано, поскольку самовзаимодействие гравитона делает анализ довольно сложным во втором порядке, и мы получим правильные выражения, используя другой подход.
Может быть интересным попытаться вывести эти члены, применяя прямой подход, так что сделаем несколько замечаний об этом.
Рис. 4.5.
Если мы рассматриваем добавление к комптоновскому рассеянию не только амплитуд, таких, какие представлены на рис. 4.4, но также амплитуд, соответствующих диаграмме, изображённой на рис. 4.5, у нас вероятно не будет условий для того, чтобы определить все неизвестные параметры более полной теории. Если мы рассмотрим взамен нашей задачи комптоновское рассеяние виртуального гравитона, мы можем увеличить число регулируемых величин, и может быть возможно вновь получить правильную теорию. Включённые в анализ диаграммы могут быть типа изображённых на рис. 4.6, и мы могли бы попытаться сделать сумму калибровочно инвариантной. На самом деле, мы будем решать эти проблемы другим способом, тем не менее, такой подход может быть полезным для того, чтобы изучить детали нашей полевой теории, подходя к решению различными путями.
Рис. 4.6.
4.6. Классические уравнения движения гравитирующей частицы
Для того, чтобы вычислить некоторые классические эффекты в нашей теории, например, орбиты планет, движущихся вокруг звезды, нам необходимо свести нашу квантовую теорию к её классической форме. Это возможно сделать, выписывая классическую теорию, как результат вариационного принципа на интеграле по траекториям, который заключает в себя действия или временной интеграл от лагранжиана. Движение, описываемое частицей, задаётся минимумом интеграла по траекториям, например, для свободной частицы это минимум интеграла
-
∫
√
(𝑑𝑠)²
=-
∫
√
𝑑𝑥
μ
𝑑𝑥
μ
=-
∫
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞½
⎟
⎠
𝑑α
.
(4.6.1)
Что-то должно быть добавлено к интегральному выражению для того, чтобы представить гравитационные эффекты. Имеется более, чем один вариационный принцип, который может дать классическую теорию, так что мы будем использовать вариационный принцип, который даёт более удобные интегралы по траекториям (фактически, принцип, приводящий к уравнению Клейна - Гордона методом интегрирования по траекториям в квантовой механике). Для заряженных частиц мы можем получить уравнения движения, вариируя интеграл
-
𝑚
2
∫
𝑑α
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
-
𝑒
∫
𝑑α
𝐴
μ
(𝑥)
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
.
(4.6.2)
После того, как мы проделаем некоторые преобразования, приходим к следующему соотношению
𝑚
𝑑²𝑥μ
𝑑α²
=
𝑒𝐹
μν
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥ν
𝑑α
⎞
⎟
⎠
,
(4.6.3)
где 𝐹μν есть ротор от вектора 𝐴μ. Из этого уравнения, умножая на 𝑑𝑥μ/𝑑α, так как тензор 𝐹μν - антисимметричен, мы находим, что
𝑑
𝑑α
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
обращается в нуль, или
𝑑𝑥μ
𝑑α
𝑑𝑥μ
𝑑α
=
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑠
𝑑α
⎞²
⎟
⎠
есть константа, так что величина α пропорциональна собственному времени (и мы можем взять её равным собственному времени, если 𝑚₀ есть масса покоя частицы). Далее мы должны включить наш тензор 𝑇μν в подынтегральное выражение соответствующим образом для того, чтобы получить правильные гравитационные уравнения. В электродинамике вектор, связанный с полем, есть просто производная смещения по отношению к 4-скаляру, т.е. скорость (𝑑𝑥μ/𝑑α) Мы предполагаем, что тензор 𝑇μν есть не что иное, как тензор, порождённый двумя такими скоростями, и подбираем мультипликативную константу так, что компонента с индексами 44 правильно описывает плотность энергии. Мы полагаем
𝑇
μν
=
𝑚₀
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑥μ
𝑑α
⎞
⎟
⎠
,
(4.6.4)
где α=𝑠=”собственное время”. Компонент с индексами 44 есть на самом деле плотность энергии; он имеет множитель 1/√1-𝑣²/𝑐² для того, чтобы учесть увеличение энергии со скоростью, и другой множитель для того, чтобы учесть одновременное сокращение объёма из-за лоренцева сжатия.
Следовательно, интеграл от лагранжиана или действие, которое должно быть провариировано, имеет следующий вид:
𝑚₀
=
⎡
⎢
⎣
-
1
2
∫
𝑑α
⎛
⎜
⎝
