Нельзя говорить о том, что этот результат соответствует отклонению света Солнца, потому что фотон не является скалярной частицей, отсюда следует, что он не может представляться скалярным массовым полем φ. Для рассеяния двух идентичных частиц такая амплитуда должна содержать обменный член, но для случая звезды - частицы, очевидно, не идентичны.

В нашей теории до сих пор не рассматривалась возможность того, что мы могли бы добавить член с нулевой дивергенцией к нашему тензору давления 𝑇_μν; это соответствовало бы другому распределению в пространстве масс и давлений. Этот и связанные с ним вопросы в дальнейшем будут подробно обсуждаться. Даже для скалярной материи, как мы увидим, у нас есть действительная двусмысленность при определении тензора энергии-импульса 𝑇_μν. Эта трудность также возникает в электродинамике, когда мы пытаемся записать взаимодействие фотонов с заряженными векторными мезонами.

4.4. Подробные свойства плоских волн. Эффект Комптона

Мы можем изучить свойства гравитационных волн в отсутствии материи; вариируя лагранжиан, получим уравнение

ℎ

_μν,λ

^,λ

-

2

ℎ

_μσ,ν

^,σ

=

0,

(4.4.1)

которое аналогично уравнению Максвелла в пустом пространстве. Если мы используем решения типа плоских волн

ℎ

_μν

=

𝑒

_μν

exp(𝑖𝑞⋅𝑥)

,

(4.4.2)

то уравнение принимает следующий вид

𝑞²

𝑒

_μν

-

𝑞

_ν

𝑞

^σ

𝑒

_σμ

-

𝑞

_μ

𝑞

^σ

𝑒

_σν

=

0.

(4.4.3)

Мы интересуемся случаями, когда 𝑞²≠0 и 𝑞²=0. Если 𝑞²≠0, мы можем разделить на 𝑞² и переставить члены уравнения так, что

𝑒

_μν

=

𝑞

_ν

⎛

⎜

⎝

1

𝑞²

𝑞

^σ

𝑒

_σμ

⎞

⎟

⎠

+

𝑞

_μ

⎛

⎜

⎝

1

𝑞²

𝑞

^σ

𝑒

_σν

⎞

⎟

⎠

.

(4.4.4)

Такое разделение вектора на два слагаемых в точности выражает вектор 𝑒_μν как симметризованный градиент

𝑒

_μν

=

χ

_μ,ν

+

χ

_ν,μ

.

(4.4.5)

Ранее мы обсудили, как калибровочная инвариантность гравитационного поля означает, что добавление члена такого вида не приводит к отличиям в физике явления. Отсюда следует, что всегда можно добавить некоторый член к 𝑒_μν так, что 𝑒_μν=0. Мы будем называть такие волны с 𝑞²≠0 ”калибровочными волнами”; эти волны не связаны ни с какими физическими эффектами и могут быть всегда устранены калибровочным преобразованием.

Если 𝑞²=0, то из уравнения (4.3.3) следует, что

𝑞

^σ

𝑒

_μν

=

0.

(4.4.6)

Это так называемые свободные волны должны удовлетворять лоренцеву калибровочному условию. Дело не только в выборе

ℎ

^μν

_,ν

=

0

(4.4.7)

для удобства в случаях, в которых волна не свободна. Этот факт имеет свой электромагнитный аналог, для фотонов величина 𝑞^μ𝑒_μ должна быть равна нулю.

Мы можем вывести действительный вид тензора поляризации 𝑒_μν в системе координат такой, что 4-вектор импульса равен

𝑞

^μ

=

(ω,ω,0,0)

.

(4.4.8)

Если мы выбираем

𝑒'

_μν

=

𝑒

_μν

+

𝑞

_μ

χ

_ν

+

𝑞

_ν

χ

_μ

(4.4.9)

и требуем, что 𝑒'_μν должна иметь компоненты только в трансверсальном направлении, мы получаем систему уравнений, которая может быть разрешена и получен ответ

𝑒'₁₁

=-

𝑒'₂₂

=

1

√2

,

𝑒'₁₂

=

𝑒'₂₁

=

1

√2

.

(4.4.10)

Для того, чтобы получить соотношения (4.4.10), заметим, что из уравнения (4.4.6) следует, что 𝑒_μ4=-𝑒_μ3, так что только компоненты с индексами 4, 1 и 2 являются независимыми. Компоненты с индексом 4 могут быть удалены, если требуется, с помощью преобразования (4.4.9). Например, 𝑒'₁₄=𝑒₁₄+ωχ₁, тогда выберем χ₁=-𝑒₁₄/ω, χ₂=-𝑒₂₄/ω. Тогда 𝑒'₄₃=𝑒₄₃+ωχ₄-ωχ₃, выберем χ₃-χ₄=-𝑒₃₄/ω тогда 𝑒'₄₃=𝑒'₄₃=𝑒'₄₄=𝑒'₃₃=0. Выбирая χ₄=-𝑒₄₄/2ω, сделаем следующую величину равной нулю 𝑒'₄₄=𝑒₄₄+2ωχ₄=0. Тогда, так как величина 𝑒'₄₄ также равна нулю, то след 𝑒'^σ_σ равен нулю, следовательно, равны нулю также и 𝑒'₃₃ и 𝑒'₁₁+𝑒'₂₂ Поэтому остались ненулевыми среди величин 𝑒'_μν только компоненты с индексами μ,ν = 1 или 2 и для них 𝑒'₁₁=-𝑒'₂₂ Имеется только две линейно независимые нормализованные комбинации (4.4.10).

Рис. 4.3.

Амплитуда для комптоновского рассеяния гравитона частицей массы 𝑚 соответствует диаграммам, изображённым на рис. 4.3. Поляризации гравитона представляются тензором 𝑒_μν; для скалярной массы компоненты импульса в каждой вершине -¹𝑝_μ, (¹𝑝_ν+¹𝑞_ν) = (²𝑝_ν+²𝑞_ν) и ²𝑝_μ. На языке этих величин мы имеем для первой диаграммы

4λ²

²

𝑒

^μν

⎡

⎢

⎣

²𝑝

_μ

(

²𝑝

_ν

+

²𝑞

_ν

)-

1

2

𝑚²η

_μν

⎤

⎥

⎦

1

(¹𝑝+¹𝑞)²-𝑚²

×

×

¹

𝑒

^αβ

⎡

⎢

⎣

¹𝑝

_α

(

²𝑝

_β

+

²𝑞

_β

)-

1

2

𝑚²η

_αβ

⎤

⎥

⎦

.

(4.4.11)

Пропагатор написан таким образом, что подходит для скалярной частицы. Некоторые ограничения в этой формуле следуют из ограничения для плоских волн 𝑞²=0 и 𝑞^ν𝑒_νμ.

4.5. Нелинейные диаграммы для гравитонов

Из калибровочной инвариантности мы ожидаем, что замена ¹𝑒_μν на ¹𝑒_μν+¹𝑞_μ𝑎_ν+¹𝑞_ν𝑎_μ не должна бы влиять на комптоновскую амплитуду. Однако прямая подстановка показывает, что это утверждение не является верным. Что же ошибочно в наших рассуждениях?