Как сделать обобщение плотности энергии-импульса для скалярного поля φ. Если заглянуть в книгу Вентцеля [Went 49] по теории поля, мы обнаружим, что предлагается следующая процедура. Предположим, что лагранжиан зависит от полей и их производных
ℒ
=
ℒ(
ψ
𝑖
ψ
𝑖
,ν
).
(4.2.1)
Компонент с индексами {44} тензора энергии-импульса должен представлять плотность энергии, которая есть гамильтониан. Поэтому используя обычное классическое описание для выражения гамильтониана из лагранжиана
𝐻
=
𝑞̇
∂𝐿
∂𝑞̇
-
𝐿
,
(4.2.2)
получаем следующее соотношение
𝑇
μ
ν
=
ψ
𝑖
,ν
∂ℒ
∂ψ𝑖,ν
-
δ
μ
ν
ℒ
.
(4.2.3)
Это правило не является корректным в общем случае. Во-первых, оно не обязательно приводит к выражению, симметричному по индексам μ и ν. Если тензор 𝑇μν - несимметричен, то результирующая теория - патологическая (например, нет способа определить угловой момент в таком поле). Закон сохранения энергии в общем случае не выполняется, поскольку в дивергенцию включены члены, которые не являются больше равными
𝑇
μν
,ν
≠
𝑇
νμ
,ν
.
(4.2.4)
В нашем частном скалярном случае правило (4.2.3) действительно приводит к тому, чтобы получить удовлетворительную симметричную форму. Мы получаем лагранжиан и действие
𝑆
(Скалярная материя)
=
1
2
∫
𝑑𝑉
(
φ
,σ
φ
,σ
-
𝑚²φ²
),
(4.2.5)
который даёт следующее выражение для тензора давления
𝑇
μν
=
φ
,ν
φ
,μ
-
1
2
η
μν
φ
,σ
φ
,σ
+
1
2
𝑚²φ²η
μν
.
(4.2.6)
С учётом тензора давления для скалярной материи (4.2.6) член, описывающий взаимодействие в лагранжиане, имеет следующий вид:
-λℎ
μν
𝑇
μν
=-
λ
⎡
⎢
⎣
ℎ
μν
φ
,μ
φ
,ν
-
1
2
ℎ
μν
η
μν
(
φ
,σ
φ
,σ
-
𝑚²φ²
)
⎤
⎥
⎦
.
(4.2.7)
В наших компактных обозначениях, использующих оператор ”черта”, последнее соотношение может быть переписано следующим образом:
-λ
⎡
⎢
⎣
ℎ
μν
φ
,μ
φ
,ν
+
1
2
ℎ
𝑚²φ²
⎤
⎥
⎦
.
(4.2.8)
Теперь мы можем использовать член, описывающий взаимодействие, для того, чтобы получить амплитуды для рассеяния при обмене гравитоном.
4.3. Амплитуды для рассеяния (скалярная теория)
Рис. 4.2.
Амплитуда рассеяния, соответствующая обмену одним гравитоном, представлена на диаграмме, изображённой на рисунке 4.2, и может быть записана из исследования диаграммы, так как мы знаем форму пропагатора и для каждой вершины у нас есть член, описывающий взаимодействие, задаваемое лагранжианом (4.2.7). Заменим градиенты компонентами 4-импульса в импульсном представлении
𝑖φ
,ν
=
𝑝
ν
,
(4.3.1)
так что член, описывающий взаимодействие, становится следующим для одной из вершин
2λ
⎡
⎢
⎣
¹𝑝μ²𝑝ν
-
1
2
η
μν
(
¹𝑝
σ
²𝑝
σ
-
𝑚²
)
⎤
⎥
⎦
.
(4.3.2)
Мы пишем подчёркивание под произведением 𝑝μ𝑝ν для того, чтобы напомнить, что мы должны использовать соответствующим образом симметризованную версию, так как ℎμν - симметричен. Более точно,
𝐴μ𝐵ν
≡
1
2
[
𝐴
μ
𝐵
ν
+
𝐴
ν
𝐵
μ
].
(4.3.3)
Для второй вершины нам также необходима ”черта” для выражения, которое имеет следующий вид
2λ
⎡
⎢
⎣
³𝑝μ⁴𝑝ν
-
1
2
𝑚²η
μν
⎤
⎥
⎦
.
(4.3.4)
Тогда полное выражение для амплитуды есть следующее
4λ
⎡
⎢
⎣
³𝑝μ⁴𝑝ν
-
1
2
𝑚²η
μν
⎤
⎥
⎦
1
𝑞²
⎡
⎢
⎣
¹𝑝μ²𝑝ν
-
1
2
η
μν
(
¹𝑝
σ
²𝑝
σ
-
𝑚²
)
⎤
⎥
⎦
.
(4.3.5)
Выбранные обозначения (”черты”, ”подчёркивания” и т.п.) приведут к упрощениям в алгебраических манипуляциях в более сложных вычислениях, которые необходимо будет выполнять, так что стоит ими воспользоваться.
Наша теория дала нам выражение для амплитуды гравитационного рассеяния одной частицы другой. Для того, чтобы вычислить что-нибудь, что имеет измеримую величину, мы должны придти к очень большим значениям массы, и для того, чтобы наблюдать эффект, который не определяется ньютоновским законом, нам необходимо использовать движения со скоростями, близкими к скорости света. Мы можем, например, вычислить угол отклонения тела малой массы, движущегося с очень большой скоростью (𝑣≈𝑐), которое отклоняется звездой, такой как Солнце. Здесь нам необходимо обосновать замену суммы амплитуд от всех частиц в звезде одной амплитудой, соответствующей массе 𝑀; подобная замена является аппроксимацией, но она даёт правильный ответ в первом порядке некоторого типа. Такой угол больше, чем его величина в рамках ньютоновской теории, и отличается на множитель (1+𝑣²/𝑐²).
