𝐴'
μ
=
𝐴
μ
+
𝑋
,μ
.
(3.7.6)
Какое свойство было бы аналогичным свойством тензорного поля? Мы предполагаем, что следующее свойство может быть справедливым: (мы должны быть внимательны для того, чтобы сохранить наши тензоры симметричными) подстановка
ℎ'
μν
=
ℎ
μν
+
𝑋
μ,ν
+
𝑋
ν,μ
(3.7.7)
в левую часть уравнения (3.7.4) не меняет вид этого уравнения. Доказательство этого факта оставляем в качестве упражнения.
С использованием свойства калибровочной инвариантности, было бы проще получить уравнения для полей в определённой калибровке, что более подходяще, что-то типа лоренцевой калибровки в электродинамике. По аналогии с выбором
𝐴
ν
,ν
=
0,
(3.7.8)
мы сделаем следующий выбор (который будем называть условием Лоренца)
ℎ
μσ
,σ
=
0.
(3.7.9)
Таким образом, получаем полевые уравнения, связывающие оператор ”черта” от тензора 𝐓 с полями
ℎ
μν,σ
,σ
=-
𝑘²
ℎ
μν
=-
λ
𝑇
μν
,
(3.7.10)
или решая ℎμν=(λ/𝑘²)𝑇μν. Немедленно получаем, что амплитуда взаимодействия такого тензора 𝐡 с другим источником 𝑇'μν от λℎμν𝑇'μν в лагранжиане, имеет следующее выражение
λ²
𝑇'
μν
⎡
⎢
⎣
1
𝑘²
⎤
⎥
⎦
𝑇
μν
.
Итак, мы получили в точности то, что мы получили прежде при обсуждении амплитуд непосредственно.
Лекция 4
4.1. Связь между рангом тензора и знаком поля
Мы хотели бы вывести некоторые полезные общие свойства полей, используя свойства лагранжевой плотности. Для гравитационного поля мы определим в данном месте константу взаимодействия и нормализацию плоских волн, которые мы будем отныне использовать. Мы положим
λ
=
√
8π𝐺
.
(4.1.1)
Здесь, 𝐺 - обычная гравитационная постоянная в естественных единицах (ℏ=𝑐=1); квадратный корень включается в определение с тем, чтобы константа λ стала аналогична заряду электрона 𝑒 в электродинамике, что предпочтительнее того, чтобы подобная величина была пропорциональна квадрату заряда. Множитель √8π служит для того, чтобы исключить не относящиеся к делу множители из большей части полезных соотношений. Для того, чтобы представить плоско-волновые гравитоны, мы будем использовать поля
ℎ
μν
=
𝑒
μν
exp(𝑖𝑘⋅𝑥)
,
(4.1.2)
с вектором поляризации 𝑒μν, нормализованным таким образом, что
𝑒
μν
𝑒
μν
=
1.
(4.1.2)
Действие, которое описывает общую энергию полей гравитации, вещество и взаимодействие между веществом и гравитонами, имеет следующий вид
𝑆
=
1
2
∫
𝑑𝑉
⎛
⎝
ℎ
μν,λ
ℎ
μν,λ
⎞
⎠
-2
ℎ
μλ
,λ
ℎ
μν
,ν
(поля)
+
∫
𝑑𝑉
(
ℎ
μν
𝑇
μν
)
(член взаимодействия)
+
𝑆
𝑀
(материя).
(4.1.4)
Мы можем вывести из лагранжианов полей некоторые важные свойства, например, мы можем понять, почему гравитация притягивает как частицы, так и античастицы, в то время как в электричестве одинаковые заряды отталкиваются, а противоположные притягиваются. Может быть показано, что это свойство связано со знаком лагранжиана, так что если мы изменим знак лагранжиана 𝑆→-𝑆, сила меняет знак. Знак констант взаимодействия λ или 𝑒, или 𝑔 не даёт отличий в теории, так как он появляется в квадрате в любой диаграмме, которая представляет поправку к энергии; всегда вовлечены две вершины. Мы можем поменять знак энергии, соответствующей диаграмме такой, как изображённой на рис. 4.1, только, если мы можем ввести множитель 𝑖 в каждой вершине, например, если мы должны использовать поля 𝑖φ вместо φ.
Рис. 4.1.
Тем не менее, поля φ должны представлять соответствующие плоские волны, которые согласовано определены так, что установившиеся волны в большой коробке имеют положительные значения энергии и квантово-механические осцилляторы, которые представляют эти установившиеся волны, ведут себя правильно. Скалярные поля имеют плоские волны
φ
=
𝑎
exp(𝑖𝑘⋅𝑥)
.
(4.1.5)
Амплитуда 𝑎 для квантового поля появляется как координата квантово-механического осциллятора. Если значения кинетической энергии таких осцилляторов, которые пропорциональна 𝑎̇², должны представлять положительные значения энергии, мы обязаны записать нашу теорию последовательным образом, и замена φ→𝑖φ была бы ошибкой.
Для электромагнитных волн именно компоненты в трансверсальном направлении, перпендикулярном направлению распространения, ограничиваются при подобном рассмотрении. Отрицательный знак появляется в связанной энергии потому, что энергия включает в себя пространственные индексы в скалярное произведение двух векторов, которое мы определили как
𝐴
μ
𝐵
μ
=
𝐴₄𝐵₄
-(
𝐴₃𝐵₃
+
𝐴₂𝐵₂
+
𝐴₁𝐵₁
).
(4.1.6)
Знак кулоновских сил связан со знаком временных компонент в лагранжиане. Для гравитационных волн также имеются трансверсальные компоненты, которые заключены в определённые пределы, а при свёртке по двум индексам (или даже по чётному числу индексов) знаки сокращаются, знак временных компонентов ℎ₄₄ противоположен случаю, рассматриваемому в случае электричества, и мы имеем притяжение.
4.2. Тензор энергии-импульса для скалярной материи
Прежде, чем мы сможем вычислять наблюдаемые эффекты и делать предсказания другие, чем закон ”обратных квадратов”, и то, что ”одинаковые тела” притягиваются с силой, пропорциональной его энергии, мы должны определить, как материя определяет тензор давления 𝑇μν. Сначала мы проведём в некоторых деталях вычисления, основанные на простейшем предположении, что материя может быть представлена скалярной функцией φ. Позднее нам понадобится рассматривать функции более высокого ранга; возможно в конце курса мы рассмотрим вещество со спином ½, поскольку такое вещество имеет свойства, существенно отличающиеся от вещества, характеризующегося целым спином. Для исследования свойств материи с целыми значениями спина 1 и 2 требуются более сложные алгебраические преобразования, однако никаких принципиальных нововведений привлекать не требуется.
