1.
ℎ
μν,σ
ℎ
μν,σ
2.
ℎ
μν,σ
ℎ
μσ,ν
Если имеются два индекса, которые равны, мы можем иметь три возможных произведения
3.
ℎ
μν
,ν
ℎ
σ
μ,σ
4.
ℎ
μν
,ν
ℎ
σ
σ,μ
5.
ℎ
ν
ν,μ
ℎ
σ
σ,μ
Не все пять произведений необходимо рассматривать, произведение п. 2 может быть опущено, поскольку оно может быть преобразовано в произведение п. 3 интегрированием по частям. Таким образом, предполагаем, что лагранжиан имеет следующий вид
𝑆
=
∫
𝑑τ
⎡
⎣
𝑎
ℎ
μν,σ
ℎ
μν,σ
+
𝑏
ℎ
μν
,ν
ℎ
σ
μ,σ
+
𝑐
ℎ
μν
,ν
ℎ
σ
σ,ν
+
+
𝑑
ℎ
ν
ν,μ
ℎ
σ
σ,μ
-
λ
𝑇
μν
ℎ
μν
⎤
⎦
.
(3.6.1)
Теперь мы вариируем эту сумму четырёх произведений по отношению к тензору ℎαβ для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее полевые производные с тензором источника 𝑇αβ. Таким образом, приходим к следующему результату (необходимо помнить, что δℎαβ симметричен по индексам α, β, так что симметричная часть его коэффициентов должна быть равна нулю)
𝑎2
ℎ
αβ,σ
,σ
+
𝑏
(
ℎ
ασ,β
,σ
+
ℎ
βσ,α
,σ
)
+
+
𝑐
(
ℎ
σ
σ,αβ
+
η
αβ
ℎ
μν
,νμ
)
+
𝑑2
η
αβ
ℎ
σ
σ,μ
μ
=-
λ𝑇
αβ
.
(3.6.2)
Мы берём производную каждого из этих членов по отношению к индексу β, тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению
2𝑎
ℎ
αβ,σ
,σβ
+
𝑏
ℎ
ασ,β
,σβ
+
𝑏
ℎ
βσ,α
,σβ
+
𝑐
ℎ
σ
σ
,αβ
β
+
+
𝑐
ℎ
μν
,μν
α
+
2𝑑
ℎ
σ
σ,μ
,μα
=
0.
(3.6.3)
Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берём значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов:
ℎ
αβ,σ
,σβ
(2𝑎+𝑏)
=
0,
ℎ
βσ,α
βσ
(𝑏+𝑐)
=
0,
ℎ
σ
σ,β
αβ
(𝑐+2𝑑)
=
0.
(3.6.4)
Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что 𝑎=½, мы получаем
𝑎
=
1
2
,
𝑏
=
-1
,
𝑐
=
1
,
𝑑
=-
1
2
.
(3.6.5)
Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение.
3.7. Определение символов
Манипуляции с тензорными величинами становятся всё более скучными в той работе, которой мы занимаемся; и для того, чтобы не увязнуть в алгебре со многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приёмы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.
Определим оператор ”черта” для произвольного тензора второго ранга следующим образом:
𝑋
μν
=
1
2
(
𝑋
μν
+
𝑋
νμ
)-
1
2
η
μν
𝑋
σ
σ
.
(3.7.1)
Для симметричного типа, такого как 𝐡, это правило проще, потому что два члена в первой скобке равны
ℎ
μν
=
ℎ
μν
-
1
2
η
μν
ℎ
σ
σ
,
(3.7.2а)
ℎ
μν
=
ℎμν
.
(3.7.2б)
Заметим, что оператор ”черта” является своим собственным обратным оператором для симметричного тензора.
Определим также использование неиндексированного тензорного символа, чтобы представить его след
ℎ
=
Th(𝐡)
=
ℎ
σ
σ
,
ℎ
σ
σ
=-
ℎ
.
(3.7.3)
Используя такие обозначения, можно записать полевые уравнения (3.6.2) с учётом (3.6.5) в симметризованном варианте
ℎ
μν,σ
,σ
-
2
ℎ
μσ,ν
,σ
=-
λ
𝑇
μν
.
(3.7.4)
Для того, чтобы получить соотношение для 𝑇μν, мы просто берём оператор ”черта” от обеих частей последнего уравнения.
Следующим шагом мы попробуем найти что-либо аналогичное свойствам калибровочной инвариантности электродинамики для того, чтобы упростить решение уравнения (3.7.4). В электродинамике полевые уравнения имеют вид:
𝐴
μ,ν
,ν
-
𝐴
ν
,νμ
=
𝑗
μ
,
(3.7.5)
следствие которых состоит в возможности описания полей так же хорошо на языке нового четыре вектора 𝐴'μ, получаемого из вектора 𝐴μ добавлением градиента скалярной функции 𝑋
