Возможно пронаблюдать эффекты, обусловленные таким членом типа магнитного, если мы рассмотрим гравитационное взаимодействие частиц, движущихся со скоростью света или с близкой к ней скоростью. Предположим, что 𝑇'μν обусловлен стационарным источником, таким как Солнце, так что остаётся только компонент 𝑇'₄₄, и мы рассмотрим гравитационное взаимодействие между Солнцем и быстрой частицей, которая движется со скоростью 𝑣, близкой к скорости света 𝑐, так что её тензор давления имеет компоненты, такие как 𝑇₁₁=(𝑣²/𝑐²)𝑇₄₄. Затем в соотношении (3.4.2) мы видим, что энергия взаимодействия больше, чем обусловленная только 𝑇₄₄ на множитель 1+𝑣²/𝑐² или на множитель 2 для фотона. Таким образом, так как фотон движется в сильном гравитационном поле, то он движется как частица, обладающая большей энергией, чем можно было бы предсказать, исходя из ньютоновской теории. Отклонение луча света звезды тогда, когда луч проходит вблизи поверхности Солнца, в два раза больше, чем величина, получаемая при анализе изменения импульса в рамках ньютоновской теории гравитации. Земляне провели подобный эксперимент и обнаружили, что наблюдаемая величина угла отклонения больше, чем величина, получаемая в рамках ньютоновской теории, на множитель, который очень близок к 2. И хотя данный наблюдательный факт достаточно несовершенен и не во всем согласован, он предполагает действительный эффект в направлении, предсказываемом нашей теорией.1
1 B 1970-х годах были проведены наблюдения по измерению отклонений гравитационным полем Солнца положений радиоисточников с помощью радиоинтерферометров с очень большой базой и предсказания ОТО были подтверждены с точностью до 1 - 3 % процентов [Заха 97*]. (Прим. перев.)
В этом месте мы могли бы приступить к вычислению в деталях таких эффектов, как и рассмотренный выше, а также многих других задач, таких как комптоновское рассеяние гравитонов, эффектов, связанных с движением Меркурия вокруг Солнца, для того, чтобы найти порядки величин гравитационных эффектов и определить, какие эксперименты могли бы быть возможными. Тем не менее, возможно предпочтительнее приступить к описанию самого гравитационного поля на языке полевого лагранжиана и полевых уравнений, чем на языке амплитуд.
3.5. Лагранжиан для гравитационного поля
Теперь мы будем изучать нашу теорию на языке лагранжиана, исследуя сами поля, а не просто амплитуды. Сначала вновь рассмотрим ситуацию в электродинамике. Здесь действие есть
𝑆
𝐸
=-
∫
𝑑τ
⎡
⎢
⎣
1
4
⎛
⎜
⎝
∂𝐴μ
∂𝑥ν
-
∂𝐴ν
∂𝑥μ
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
∂𝐴μ
∂𝑥ν
-
∂𝐴ν
∂𝑥μ
⎞
⎟
⎠
+
𝑗
μ
𝐴
μ
⎤
⎥
⎦
.
(3.5.1)
Именно из такого лагранжиана мы в конце концов выводим полевые уравнения; мы хотим получить гравитационный аналог соотношения 𝐴μ=-(1/𝑘²)𝑗μ.
Нетрудно сделать предположение о форме второго члена, описывающего взаимодействие. Мы предполагаем, что этот член равен -λℎμν𝑇μν. Здесь аналогия для членов, в которые вовлечены производные, не так очевидна; просто имеется слишком много индексов, которые могут быть переставлены слишком большим числом способов. Мы будем должны написать общую форму для лагранжиана, как сумму по всем возможным способам записи полевых производных, подставляя произвольные коэффициенты перед каждым членом, т.е. записывая его следующим образом:
𝑎
⎛
⎜
⎝
∂ℎμν
∂𝑥σ
⋅
∂ℎμν
∂𝑥σ
⎞
⎟
⎠
+
𝑏
⎛
⎜
⎝
∂ℎμσ
∂𝑥ν
⋅
∂ℎμν
∂𝑥σ
⎞
⎟
⎠
+
𝑐
⎛
⎜
⎝
∂ℎμμ
∂𝑥ν
⋅
∂ℎσν
∂𝑥σ
⎞
⎟
⎠
+… .
(3.5.2)
Наша теория не будет полна до тех пор, пока мы не придумаем некоторый критерий для определения значений коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, ….
Возможно мы можем сделать предположение по некоторой аналогии с электромагнетизмом. Если мы вычисляем вариацию общего лагранжиана (3.5.1) по отношению к 𝐴, мы получаем дифференциальное уравнение, связывающее поля и ток
∂
∂𝑥ν
∂
∂𝑥ν
𝐴
μ
-
∂
∂𝑥ν
∂
∂𝑥μ
𝐴
ν
=
𝑗
μ
.
(3.5.3)
Для экономии записи далее мы будем показывать такие дифференцирования (градиенты), просто указывая индексы координат после запятой; уравнение, которое приведено выше, имеет следующий вид:
𝐴
μ,ν
,ν
-
𝐴
ν,μ
,ν
=
𝑗
μ
.
(3.5.4)
Закон сохранения заряда выражается вычислением дивергенции 𝑗μ, равной нулю. Но мы можем заметить, что уравнения Максвелла для этого поля несогласованы, за исключением закона сохранения заряда, и что градиент от выражения в левой части соотношения (3.5.4) тождественно равен нулю. С использованием правильного лагранжиана электромагнитного поля, закон сохранения заряда может быть выведен как следствие полевых уравнений. Так как левая часть уравнения (3.5.4) удовлетворяет этому тождеству, его дивергенция также равна нулю:
𝐴
μ,ν
,νμ
-
𝐴
ν,μ
,νμ
=
0.
(3.5.5)
Подобное условие используется для того, чтобы определить величину коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, … относительно друг друга. Мы будем выписывать общий лагранжиан, выводить дифференциальные полевые уравнения путём вариации лагранжиана и требовать, что, так как дивергенция тензора 𝐓 обращается в нуль, полевые величины, которые равны этому тензору, должны иметь дивергенцию, которая равна нулю тождественно. Это условие будет влиять на однозначный выбор значений коэффициентов. Мы проведём ниже алгебраические вычисления подробно, устанавливая значения коэффициентов таким образом, что полевые уравнения согласованы, если только
𝑇
μν
,ν
=
0.
(3.5.6)
3.6. Уравнения гравитационного поля
Вывод уравнений начнём с выписывания всех возможных произведений нашего полевого тензора ℎμν. На каждом шагу имеют место значительные упрощения, если мы используем симметрию тензора ℎμν при комбинации различных членов. Если два тензорных индекса отличны от индекса производной, мы имеем два различных произведения
