3.4. Физическая интерпретация в терминах амплитуд
Рис. 3.3.
Поляризация гравитона есть тензорная величина. Мы можем наглядно представить это понятие с помощью картинок, подобных тем, которые мы использовали в описании давлений; мы рисуем стрелки, показывающие направление, которое ассоциировано с нормалью к поверхности, к осям координат. В этой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, мы имеем два давления, изображённые на рис. 3.3. Имеется только две возможности для квадрупольного давления; давления, представляемые стрелками, направленными к началу координат (или от начала координат), представляют собой тип давления в жидкости, которое соответствует спину, равному нулю. ”Давления” (в действительности вращения), представляемые всеми стрелками, поворачивающимися в направлении по часовой стрелке (или против часовой стрелки), соответствует спину 1.
Рис. 3.4.
Давление, представленное на рис. 3.3(a), может относится к осям, которые повёрнуты на угол 45° от исходных осей координат; в этом случае картинка на рис. 3.4 есть ничто иное, как то же самое давление, изображённое на рис. 3.3(a), повёрнутое на угол 45°. Отсюда мы находим, что эти поляризации поворачиваются одна в другую при повороте осей на угол 45°. Если мы поворачиваем на угол 90°, то каждая поляризация переходит в себя; стрелки меняют своё направление, но мы должны думать об осциллирующей зависимости от времени, которая связана с этими поляризациями. Двигаясь этим путём, мы видим, что полное вращение на угол 360° соответствует двум полным циклам фазы - спин равен двум. Существуют две ортогональных линейных комбинации этих двух поляризаций, чьи изменения вращательной фазы ведут себя как exp(2𝑖θ) и exp(-2𝑖θ). Это просто различное разделение ”запаздывающего” члена; методом проб и ошибок мы можем просто представить эти две части
1
4
(
𝑇'₁₁
-
𝑇'₂₂
+
𝑖2𝑇'₁₂
)(
𝑇₁₁
-
𝑇₂₂
-
𝑖2𝑇₁₂
)+
+
1
4
(
𝑇'₁₁
-
𝑇'₂₂
-
𝑖2𝑇'₁₂
)(
𝑇₁₁
-
𝑇₂₂
+
𝑖2𝑇₁₂
).
(3.4.1)
Эти части характеризуются спином 2, проекция ±2 тензоров очевидна, когда мы сравниваем форму этих произведений с произведением гармонических многочленов; мы знаем, что (𝑥±𝑖𝑦)(𝑥±𝑖𝑦) очевидно характеризуются спином 2 и проекцией ±2; эти произведения равны 𝑥𝑥-𝑦𝑦±2𝑖𝑥𝑦, которые имеют ту же структуру, что и члены в соотношении (3.4.1). Таким образом, мы приходим к выводу, что при α=-1/2, наши гравитоны имеют только две возможных поляризации. Эта возможно правильная теория, эквивалентная теории поля спина 2, которую ранее рассматривали теоретики Паули и Фирц и выразили на языке полевых лагранжианов [FiPa 39].
Мы подходим к теории со спином 2, исходя из аналогий с теорией со спином 1; таким образом мы без объяснений предполагаем существование гравитонных плоских волн; так как плоские волны фотона представляются полюсами пропагатора, и пропагатор гравитона также имеет полюсы ω=±𝑘. Но соответствующие наблюдательные свидетельства отсутствуют; мы не наблюдали ни гравитонов; ни даже классических гравитационных волн.
Имеются некоторые проблемы, которыми мы пренебрегли полностью в настоящее время, но к которым мы вернёмся позднее. Источники электромагнетизма сохраняются, и энергия также сохраняется, которая есть источник гравитации. Но это сохранение совершенно другого характера, так как фотон - незаряжен, следовательно, он не является источником самого себя, тогда как гравитон содержит энергию, равную ℏω, и следовательно, он сам является источником гравитонов. Мы говорим об этом, как о нелинейности гравитационного поля.
В электромагнетизме мы можем вывести полевые уравнения (уравнения Максвелла), которые несогласованы, если заряд не сохраняется. До сих пор мы избегали обсуждения полевого уравнения для гравитации, поскольку мы беспокоились только об амплитудах, но не о самих полях. Также нам необходимо уже обсудить, является ли теория, которую мы можем написать, зависимой от калибровки, и можем ли мы написать вообще полевое уравнение, соответствующее максвелловским уравнениям ∂𝐹μν/∂𝑥ν=𝑗μ
Имеются некоторые физические свойства нашей теории, которые могут быть обсуждены без полевых уравнений, просто из рассмотрения формы взаимодействия. Запишем полное выражение, соответствующее α=-1/2:
2
⎡
⎢
⎣
𝑇'
μν
⎛
⎜
⎝
1
𝑘²
⎞
⎟
⎠
𝑇
μν
-
1
2
𝑇'
ν
ν
⎛
⎜
⎝
1
𝑘²
⎞
⎟
⎠
𝑇
μ
μ
⎤
⎥
⎦
=
=-
1
𝑘²
⎡
⎢
⎣
𝑇'₄₄𝑇₄₄
⎛
⎜
⎝
1
-
ω²
𝑘²
⎞
⎟
⎠
+
𝑇₄₄
(
𝑇'₁₁
+
𝑇'₂₂
)+
+
𝑇'₄₄
(
𝑇₁₁
+
𝑇₂₂
)-
4𝑇'₄₁𝑇₄₁
-
4𝑇'₄₂𝑇₄₂
⎤
⎥
⎦
-
-
1
𝑘²-ω²
[(
𝑇'₁₁
-
𝑇'₂₂
)(
𝑇₁₁
-
𝑇₂₂
)+
4𝑇'₁₂𝑇₁₂
].
(3.4.2)
(Если потребуется, то член (ω²/𝑘²)𝑇'₄₄𝑇₄₄ может заменяться на 𝑇'₄₃𝑇₄₃ или на (𝑇₄₄𝑇'₃₃ + 𝑇₃₃𝑇'₄₄)). Мы уже обсудили запаздывающий член и его поляризации. Теперь проанализируем первый член. Тензор 𝐓 - тензор давления; для медленных частиц пространственные компоненты порядка 𝑣/𝑐, так что ньютоновский закон представляется только одним своим произведением 𝑇₄₄𝑇'₄₄. Другие произведения представляют собой что-то подобное магнетизму. Заметим, что при таком разделении они появляются как члены, описывающие мгновенное взаимодействие. Запаздывающие эффекты, движущиеся волны появляются только при чётных степенях 𝑣/𝑐.
Мы можем думать, что члены, описывающие мгновенное взаимодействие типа магнитного, могли бы давать наблюдаемые эффекты, например, могло бы быть небольшое изменение в гравитационном взаимодействии между двумя колёсами, если мы вращаем их всё быстрее и быстрее. Рассматриваемая теория действительно предсказывает подобные эффекты, но практически подобные силы не только были бы очень, очень малы, но они также были бы скрыты множеством других эффектов. Магнитные силы, такие как притяжение между двумя проводящими ток проволочками, достаточно просто наблюдать только потому, что эффекты кулоновского взаимодействия взаимно уничтожаются очень, очень точно при наличии равных величин положительного и отрицательного зарядов. Но все гравитационные силы притягивающие, так что нет надежды на подобное взаимное уничтожение этих сил. Для вращающихся колёс трудность была бы в том, что упругое давление вещества вносило бы добавку в члены, описывающие энергию взаимодействия, колеса бы управлялись слегка по разному и т.д. В добавление к этому, мы можем думать, что обычное гравитационное взаимодействие довольно трудно измерить, и что эффекты типа магнитных могут быть меньше на некоторое отношение (𝑣/𝑐)² такое, как отношение магнитных сил к кулоновским. Силы между проволочками, проводящими ток, порядка грамма веса, в то время как кулоновские взаимодействия между частицами в проволочках (в случае, если бы они взаимно не уничтожались) порядка миллиардов миллионов тонн.
