Один из интересных фактов об обыкновенных звёздах заключается в том, что они мало различаются по своему размеру; их массы всегда того же порядка, что и масса нашего Солнца, возможно, самое большее в 10 раз больше. Не очень трудно установить, что может быть возможно есть естественный предел для размера звезды, путём рассмотрения одновременно требований принципа исключения Паули и скоростей, необходимых для выхода из системы; нам необходимо начать заполнять энергетические уровни для электронов (скажем, мы делаем это при температуре 0° Кельвина) в море Ферми и проводить добавление масс протонов внутри заданного объёма. При массе порядка (1.5) массы Солнца, вершина моря Ферми является критически высоким. Тем не менее, обычная звезда не является достаточно массивной для того, чтобы релятивистские решения очень сильно отличались бы от нерелятивистских решений.
Если мы пытаемся иметь дело с конденсацией сверхзвезды с массой, содержащей 10⁹ солнечных масс, гравитационные процессы могут быть в большей степени релятивистскими. Модель охлаждения излучением и коллапс внутренней части, приводящий к повышению температур, может оказаться несправедливой для сверхзвезды. При достаточно высоких давлениях предпочтительное направление ядерных процессов может быть связано с обратными β распадами протонов
𝑝+𝑒
→
𝑛+ν
.
(13.5.1)
Эволюция звезды с такой большой массой и обогащённой такими нейтронами может быть совершенно отлична от эволюции нашего Солнца. Я убеждён в том, что совершенно необходимо перед тем, как мы создадим новые теории для объяснения подобных процессов, предпринять серьёзную попытку использования всех знаний нашей существующей физики для того, чтобы понять, что может происходить при столь своеобразных обстоятельствах.
Лекция 14
14.1. Проблема сверхзвёзд в общей теории относительности
В этой лекции я хочу обсудить решение проблемы сверхзвёзд, в которых имеется вещество с массой примерно 10⁹ солнечных масс, что обсуждали в своей работе Фаулер и Уилер [HoFo 63]. Мы берём модель, которая очень проста, но Может, тем не менее, обладать огромным множеством атрибутов реальных процессов. После того, как мы поймём, как обходиться с решением такой простой задачи, мы можем позаботиться об усовершенствованиях в модели. Начальный пункт нашего анализа - это дифференциальное уравнение общей теории относительности, уравнение Эйнштейна
8π
𝐺𝑇
μν
=
𝐺
μν
=
𝑅
μν
-
1
2
𝑔
μν
𝑅
.
(14.1.1)
Правая часть этого уравнения есть ”геометрическая” часть, здесь мы подставляем выражения для кривизны через компоненты метрического тензора. Если мы предполагаем статические, сферически симметричные решения, тогда элементы метрического тензора в точности определяются функциями ν(𝑟) и λ(𝑟) такими, что
(𝑑𝑠)²
=
𝑒
ν
(𝑑𝑡)²
-
𝑒
λ
(𝑑𝑟)²
-
𝑟²
⎛
⎝
sin²θ
(𝑑φ)²
+
(𝑑θ)²
⎞
⎠
.
(14.1.2)
Левая часть уравнения (14.1.1) есть физическая часть, которая включает в себя тензор энергии-импульса. Если мы предполагаем, что вещество газообразное, этот тензор включает в себя только давление 𝑝 и плотность ρ в любой точке. При обозначении координат (𝑟,θ,φ,𝑡) индексами в порядке (1,2,3,4) и производных по отношению к координате 𝑟 штрихами, уравнение Эйнштейна сводится к следующей системе уравнений, выраженных на языке функций ν(𝑟), λ(𝑟) и давления, и плотности:
𝐺¹₁
=-
𝑒
-λ
ν'
/
𝑟
-
(𝑒
-λ
-1)
/
𝑟²
=-
8π𝐺𝑝
(14.1.3а)
𝐺²₂
=-
𝑒
-λ
⎛
⎜
⎝
ν''
2
-
ν'λ'
4
+
(ν)²
4
+
(ν'-λ')
2𝑟
⎞
⎟
⎠
=-
8π𝐺𝑝
(14.1.3б)
𝐺⁴₄
=-
𝑒
-λ
λ'
/
𝑟
-
(𝑒
-λ
-1)
/
𝑟²
=
8π𝐺ρ
(14.1.3в)
Модель, которую мы будем использовать, будет задаваться теми выражениями, которые мы подставим для давления 𝑝 и плотности ρ. Эти величины представляют давление и плотность, которые могли бы быть действительно измерены наблюдателем, стоящим в какой-либо выделенной точке. Мы не получим правильных решений до тех пор, пока мы не проследим за тем, чтобы наш физический тензор 𝑇μν удовлетворял законам сохранения. Для нашего случая сферической симметрии только радиальная компонента дивергенции тензора имеет значение; мы должны иметь
∂𝑇¹₁
∂𝑟
+
1
2
ν'
(𝑇¹₁-𝑇⁴₄)
+
1
𝑟
(𝑇¹₁-𝑇²₂)
=
0
=-
1
2
ν'
(𝑝+ρ)-𝑝'
,
(14.1.4)
что по сути дела утверждает то, что давления в радиальном направлении уравновешены, как это и должно быть в нашем статическом решении. Это уравнение (равенства нулю дивергенции) служит тому, чтобы исключить ν'. Далее мы получаем соотношение для того, чтобы исключить exp(-λ). Сначала мы перепишем 𝐺⁴₄ через новую функцию 𝑀(𝑟), как показано в следующих соотношениях
𝐺⁴₄
=
1
𝑟²
𝑑
𝑑𝑟
⎡
⎣
𝑟(1-𝑒
-λ
)
⎤
⎦
.
(14.1.5а)
Если мы положим
𝑀(𝑟)
=
1
2
⎡
⎣
𝑟(1-𝑒
-λ
)
⎤
⎦
,
𝑒
-λ
=
1
-
2𝑀(𝑟)
𝑟
,
(14.1.5б)
тогда
𝑑𝑀
𝑑𝑟
=
4π𝑟²
𝐺ρ
.
(14.1.5в)
Оказывается, что функция 𝑀(𝑟) пропорциональна массе звезды, так как это есть интеграл плотности ρ. Тем не менее, интерпретация не является настолько прямой, поскольку имеются особенности координат, через которые измеряется функция ρ. Мы обсудим это ниже. Подставляя выражения для ν' и exp(-λ) в уравнение (14.1.3а), получаем
⎛
⎜
⎝
1
-
2𝑀
𝑟
⎞
⎟
⎠
1
𝑟
𝑑𝑝
𝑑𝑟
=-
(𝑝-ρ)
⎛
⎜
⎝
4π𝐺𝑝
+
𝑀
𝑟³
⎞
⎟
⎠
.
(14.1.6)
Вместе с дифференциальным уравнением для 𝑀(𝑟) и с уравнением состояния, связывающим величины 𝑝 и ρ, мы имеем систему связанных уравнений, которые могут быть в принципе разрешены для функций 𝑀(𝑟), 𝑝 и ρ; с подходящими граничными условиями они могли бы описывать сверхзвезду в приближении статического решения.
